Función de Gudermann

La función de Gudermann (gudermaniana , o amplitud hiperbólica [1] ) es una función que muestra la relación entre funciones trigonométricas e hiperbólicas sin involucrar números complejos . Nombrado en honor al matemático alemán Christoph Gudermann . Denotado u Ocurre en el problema de mapear un plano sobre una esfera en la proyección cartográfica de Mercator . $\operatorname {gd} x,\,\operatorname {amph} x$ ${\ estilo de visualización \ gamma (x).}$

Definición y propiedades

Gudermannian se define de la siguiente manera:

\operatorname {gd} x=\int \limits _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\operatorname {ch} \,t)).

Razones básicas que a veces se usan como definiciones alternativas:

\operatorname {gd} x\,=2\,\operatorname {arctg} \left(\operatorname {th} {\frac {x}{2}}\right)\,=\,2\,\ nombre del operador {arctg} \,e^{x}-{\pi \over 2}\,=\,\nombre del operador {arctg} (\nombre del operador {sh} x)=\,\arcsin(\nombre del operador {th} x) .

También existen las siguientes identidades, que conectan las funciones trigonométricas e hiperbólicas a través de la Gudermanniana:

\operatorname {th} {\frac {x}{2}}=\operatorname {tg} {\frac {\operatorname {gd} x}{2}}

{\ estilo de visualización \ nombre del operador {sh} x = \ nombre del operador {tg} (\ nombre del operador {gd} x)}

{\ estilo de visualización \ nombre del operador {ch} x = \ sec (\ nombre del operador {gd} x)}

\nombre del operador {th} x=\sin(\nombre del operador {gd} x)\

\operatorname {sech} x=\cos(\operatorname {gd} x)\

{\ estilo de visualización \ nombre del operador {csch} x = \ nombre del operador {ctg} (\ nombre del operador {gd} x) \ }

\nombre del operador {cth} x=\nombre del operador {cosec} (\nombre del operador {gd} x)\

La Gudermanniana es una función impar estrictamente creciente definida en toda la recta numérica. Su rango se encuentra en el intervalo (−π/2, π/2) . Los valores ±π/2 son las asíntotas de la función ya que su argumento tiende a ${\ estilo de visualización \ pm \ infty.}$

Usando la definición de la función de Gudermann, uno puede extender su dominio de definición al plano complejo. Para el argumento complejo z = x + iy , se cumplen las siguientes identidades:

\operatorname {tg} \operatorname {Re} (\operatorname {gd} z)={\frac {\operatorname {sh} x}{\cos y)),

\operatorname {th} \operatorname {Im} (\operatorname {gd} z)={\frac {\sin y}{\operatorname {ch} x)),

\operatorname {th} x={\frac {\sin \operatorname {Re} (\operatorname {gd} z)}{\operatorname {ch} \operatorname {Im} (\operatorname {gd} z)} },

\operatorname {tg} y={\frac {\operatorname {sh} \operatorname {Im} (\operatorname {gd} z)}{\cos \operatorname {Re} (\operatorname {gd} z)} },

tanto como

\operatorname {th} x\cdot \operatorname {tg} y=\operatorname {tg} \operatorname {Re} (\operatorname {gd} z)\cdot \operatorname {th} \operatorname {Im} (\ nombre del operador {gd} z).

La relación entre la Gudermanniana y la función exponencial viene dada por las identidades:

e^{x}=\sec \operatorname {gd} x+\operatorname {tg} \operatorname {gd} x=\operatorname {tg} {\frac {\pi +2\operatorname {gd} x}{ 4))={\frac {1+\sin \operatorname {gd} x}{\cos \operatorname {gd} x)).

Función inversa

La función inversa a la función de Gudermann:

\operatorname {arcgd} x\,=\,{\operatorname {gd} }^{-1}x\,=\,\int \limits _{0}^{x}{\frac {dt} {\costo).

Se llama antigudermanniana , así como lambertiana o función de Lambert (en honor a Johann Lambert ), y también se denota como o Se utiliza, al igual que la función de Gudermann, en la teoría de la construcción de proyecciones cartográficas; te permite pasar de la latitud geográfica de un punto en una esfera a la coordenada vertical de la imagen de un punto en la proyección de Mercator (ver también Integral de la secante ). Identidades básicas para la función de Lambert: ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {lam} x}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {arcgd} x.}$

\operatorname {arcgd} x\,=\,\operatorname {arch} (\sec x)=\operatorname {arth} (\sin x)=\operatorname {arsh} (\operatorname {tg} x)\ ,=\,\ln {\bigl (}(1+\sin(x))\cdot \sec x{\bigr )}\,=\,\ln(\operatorname {tg} x+\sec x)=\ ln {\biggl (}\!\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4))+{\frac {x}{2))\right)\!\!{\biggr )} \,=\,{\frac {1}{2}}\ln {\biggl (}{\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}{\biggr )}.

También existen las siguientes identidades que conectan las funciones trigonométricas e hiperbólicas a través del lambertiano:

{\begin{alineado}\operatorname {sh} \left(\operatorname {arcgd} x\right)&=\operatorname {tg} x;&\quad \operatorname {ch} \left(\operatorname {arcgd } x\right)&=\sec x;\\\nombre del operador {th} \left(\nombre del operador {arcgd} x\right)&=\sin x;&\quad \;\nombre del operador {sch} \left(\ nombre del operador {arcgd} x\right)&=\cos x;\\\nombre del operador {cth} \left(\nombre del operador {arcgd} x\right)&=\nombre del operador {cosec} x;&\quad \,\nombre del operador { csch} \left(\operatorname {arcgd} x\right)&=\operatorname {ctg} x;\\\operatorname {th} \left({\frac {\operatorname {arcgd} x}{2))\right )&=\nombre del operador {tg} {\frac {x}{2));&\quad \,\nombre del operador {cth} \left({\frac {\nombre del operador {arcgd} x}{2}}\right) &=\nombre del operador {ctg} {\frac {x}{2}}.\\\end{alineado}}\,\!

El lambertiano es una función impar estrictamente creciente definida en el intervalo (−π/2, π/2) . Su rango se encuentra en el intervalo . Al igual que la función de Gudermann, se puede generalizar a un argumento complejo. ${\ estilo de visualización \ pm \ infty.}$

La función de Gudermann y la función de Lambert están relacionadas por la siguiente relación:

\operatorname {gd} (ix)\,=\,i\operatorname {arcgd} x,

de donde también se siguen las relaciones

\operatorname {gd} (i\operatorname {gd} x)=ix,\qquad \operatorname {arcgd} (i\operatorname {arcgd} x)=ix.

Derivadas, series e integrales

Las derivadas de la función de Gudermann y la función inversa de Gudermann son iguales a la secante hiperbólica y trigonométrica, respectivamente:

{d \over dx}\,\operatorname {gd} x=\operatorname {sech} x,

{d \over dx}\,\operatorname {arcgd} x=\sec x.

Expansión en una fila:

\operatorname {gd} x=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{24}}-{\frac {61x^{7 }}{5040}}+{\frac{277x^{9}}{72576}}+\puntos ,

\operatorname {arcgd} x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{5}}{24}}+{\frac {61x^{7} }{5040}}+{\frac {277x^{9}}{72576}}+\puntos

Los coeficientes de expansión de la Gudermanniana y la antigudermanniana para términos del mismo grado coinciden en valor absoluto, sin embargo, para términos con grados de 3, 7, 11, ... los coeficientes de expansión de la Gudermanniana son negativos, mientras que los de la función inversa son positivas.

Integral de la función de Gudermann:

\int \operatorname {gd} zdz=-{\frac {\pi }{2}}z+i\left(\operatorname {Li_{2}} (-ie^{x})-\operatorname { Li_{2}} (es decir,^{x})\derecha),

donde Li 2 es el dilogaritmo .

La Gudermanniana y la Anti-Gudermanniana, que facilitan el paso de funciones hiperbólicas a trigonométricas y viceversa, se utilizan para la integración analítica por el método de sustitución trigonométrica e hiperbólica.

Literatura

Gradshtein I. S., Ryzhik I. M. Tablas de integrales, sumas, series y productos. M.: Estado. Editorial de Phys.-Math. literatura. 1963. 1100 págs.
Yanpolsky A. R. Funciones hiperbólicas. M.: Estado. Editorial de Phys.-Math. literatura. 1960, págs. 47-50.
Yanke E., Emde F., Losh F. Amplitud hiperbólica (gudermanniana) // Funciones especiales: fórmulas, gráficos, tablas / Per. de la sexta edición alemana revisada, ed. L. I. Sedova. - M. : Nauka, 1964. - S. 33-34. — 344 pág.
Brusilovsky GK Integración usando funciones hiperbólicas y Gudermannianas // Educación matemática. Colección de artículos sobre matemáticas elementales y principios de las matemáticas superiores. Número 13. / Ed. R. N. Bonchkovsky. - M. - L. : ONTI, 1938. - 80 p. - 5000 copias.

Enlaces

Weisstein, Eric W. La función de Gudermann en Wolfram MathWorld .

Notas

↑ El nombre "amplitud hiperbólica" fue propuesto por Güell en 1864.