Cobertura universal

La cobertura universal es, en cierto sentido, la mayor cobertura del espacio. En los casos no patológicos, la cobertura universal es la cobertura por un espacio simplemente conexo.

Definición

Una tapa se llama universal si para cualquier otra tapa existe una tapa tal que . $p\dos puntos {\tilde {Y}}\a Y$ $q\dos puntos X\a Y$ $s\colon {\tilde {Y}}\to X$ $p=q\circ s$

Ejemplos

Un ejemplo de espacio que no permite una cobertura universal es el llamado arete hawaiano : la unión de una secuencia de círculos, tangentes por pares en un mismo punto, cuyos radios tienden a cero. [una]

Dos copias del cono sobre el arete hawaiano, pegadas en un punto, donde los círculos del arete hawaiano tienen un punto común, dan un ejemplo de un espacio no simplemente conectado con una cubierta universal trivial (y por lo tanto no simplemente conectada). . Un camino cerrado que corre alrededor de círculos decrecientes y que corre de cono a cono no es cero homogéneo. [2]

La línea real es la cobertura universal del círculo . $\matemáticas {R}$ $S^{1}$

$norte$ La esfera bidimensional es una cobertura universal del espacio proyectivo real para . $S^{n}$ $\mathbb {R} \mathrm {P} ^{n}$ $n>1$

Propiedades

El recubrimiento universal es regular .

Todos los espacios conexos localmente conexos y semilocalmente conexos admiten una cobertura universal. Además, el espacio de la cubierta está simplemente conectado.
- En particular, cualquier espacio conectado localmente simplemente conectado tiene una cubierta universal.

Notas

↑ Capítulo 2, § 5, 17 en Spanier E. Topología algebraica. — M .: Mir, 1971
↑ Capítulo 2, § 5, 18 en Spanier E. Topología algebraica. — M .: Mir, 1971

Literatura

Allen Hatcher. Topología algebraica / Per. V. V. Prasolova. - M. : MTSNMO, 2011. - 688 p. — ISBN 978-5-94057-748-5 .