Espacio unitario

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Un espacio unitario es un espacio vectorial sobre el campo de números complejos con un producto escalar hermitiano definido positivo [1] [2] , un análogo complejo del espacio euclidiano .

Definición

El producto escalar hermitiano en un espacio vectorial sobre el campo de los números complejos es una forma lineal y media que satisface la condición adicional [3] : $\matemáticas {L}$ $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {C} ,$

$(\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L} )\ \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }},$ donde es el cuantificador universal . $\para todos$

En otras palabras, esto significa que la función cumple las siguientes condiciones [3] : $\langle \cdot ,\cdot \rangle :\mathbb {L} \times \mathbb {L} \to \mathbb {C} ,$

1) linealidad del producto escalar con respecto al primer argumento:

\forall \mathbf {x_{1},x_{2},y} \in \mathbb {L}

y las igualdades son verdaderas:

\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {C}

\langle \alpha \mathbf {x} _{1}+\beta \mathbf {x} _{2},\mathbf {y} \rangle =\alpha \langle \mathbf {x} _{1} ,\mathbf {y} \rangle +\beta \langle \mathbf {x} _{2},\mathbf {y} \rangle ;

(a veces en la definición toman linealidad en el segundo argumento en su lugar, lo cual no es importante, porque debido a la condición son equivalentes) $(\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L} )\ \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }}$

2) la propiedad hermítica del producto escalar:

\forall \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {L}

igualdad justa

\mathbf {\langle y,x\rangle ={\overline {\langle x,y\rangle ))} ;

3) definición positiva del producto escalar:

(\forall \mathbf {x} \in \mathbb {L} )

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \in \mathbb {\mathbb {R} }

y solo cuando

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle \geq 0,

\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle =0

\mathbf {x=0} .

Propiedades

Sobre un espacio real, la condición de sesquilinealidad es equivalente a la bilinealidad, y la de hermitianidad a las simetrías, y el producto interior se convierte en una función simétrica bilineal definida positiva . $\langle \cdot ,\cdot \rangle :{\mathbb L}\times {\mathbb L}\to \mathbb{R}$
Una forma sesquilineal es hermitiana si y solo si [3] , cuando para todos los vectores la función toma solo valores reales. ${\ estilo de visualización \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$ $x\in {\matemáticas L}$ $f(\mathbf {x} )=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle$

Diferencias del espacio euclidiano

Los espacios unitarios tienen todas las propiedades de los espacios euclidianos excepto por cuatro diferencias: [4]

$(\mathbf {x} ,\alpha \mathbf {y} )={\overline {\alpha }}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} );$
Desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky : $\left|\mathbf {(x,y)} \right|^{2}\leqslant \mathbf {(x,x)(y,y)} ;$
el concepto de ángulo no tiene significado sustantivo;
La matriz de Gram de un sistema de vectores es hermitiana ${\ estilo de visualización \ Gamma (f) = f ^ {T} f}$ $F$ ${\ estilo de visualización \ Gamma = \ Gamma ^ {*}.}$

Literatura

Gelfand I. M. Conferencias sobre álgebra lineal, Moscú: Nauka, 1971.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría, Fizmatlit, Moscú, 2009.

Notas

↑ A. I. Kostrikin, Yu. I. Manin. Álgebra lineal y geometría. - art. 126.
↑ AE Umnov. Geometría analítica y álgebra lineal. - Moscú: MIPT, 2011. - S. 400.
↑ 1 2 3 Shafarevich I. R., Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría. - cap. VI, § 6.3. — M.: Fizmatlit, 2009.
↑ Shikin E. V. Espacios lineales y asignaciones. - M., Universidad Estatal de Moscú , 1987. - p. 51-52