Forma de línea y media

Una forma sesquilineal es una generalización del concepto de forma bilineal . Por regla general, una forma sesquilineal es una función f(x, y) de dos vectores de un espacio vectorial sobre un campo con valores en este campo, si es lineal como función para todo fijo y semilineal como función para cada fijo . El requisito de semilinealidad en significa que se cumplen las siguientes condiciones: [1] $V$ $\matemáticas {C}$ $X$ $y$ $y$ $X$ $y$

$f(x,y_{1}+y_{2})=f(x,y_{1})+f(x,y_{2})\ \ \para todo x,y_{i}\en V ,$
$f(x,\alpha y)={\overline {\alpha }}f(x,y)\ \ \forall x,y\in V,\ \alpha \in \mathbb {C} .$

Así ciertas formas surgen naturalmente en aplicaciones a la física.

Hay una generalización para el caso en que el espacio vectorial se considera sobre un campo arbitrario , entonces la conjugación compleja se reemplaza por un automorfismo fijo arbitrario del campo. En geometría proyectiva , a veces se considera una generalización aún mayor, cuando en lugar de un espacio vectorial, se utiliza un módulo sobre un cuerpo arbitrario . $k$

Convenciones de orden de argumentos

La definición dada en el preámbulo es lineal en el primer argumento y semilineal en el segundo. Esta convención se utiliza a menudo en la literatura matemática. Sin embargo, vale la pena señalar que en la literatura física, la semilinealidad en el primer argumento se usa con más frecuencia [2] , esta concordancia se deriva de las designaciones bra y ket introducidas por Dirac en la mecánica cuántica .

En un espacio vectorial complejo

Una aplicación en un espacio vectorial complejo se llama sesquilineal si: $\varphi :V\times V\to \mathbb {C}$ $V$

{\begin{alineado}&\varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y ,w)\\&\varphi (ax,by)=a{\overline {b}}\,\varphi (x,y)\end{alineado}}

para todos y para todos Aquí, por medio de un número que es complejo conjugado a un número ${\ estilo de visualización x, y, z, w \ en V}$ $a,b\in \mathbb {C} .$ $\sobrelínea {b}$ $b.$

La forma sesquilineal compleja también se puede ver como un mapeo bilineal complejo

V × V ¯ → C , {\displaystyle V\times {\overline {V}}\to \mathbb {C} ,}

V\times {\overline {V}}\to \mathbb {C} ,

donde es el espacio vectorial complejo conjugado al espacio

{\sobrelínea {V))

{\ estilo de visualización V.}

Para un mapa fijo , el mapeo es un funcional lineal en , es decir, un elemento del espacio dual . De manera similar, el mapeo para fijo es un funcional antilineal en ${\ estilo de visualización w \ en V}$ $z\mapsto\varphi (z,w)$ $V$ $V^*$ $w\mapsto\varphi (z,w)$ $z$ ${\ estilo de visualización V.}$

Para cualquier forma sesquilineal compleja , podemos considerar la segunda forma mediante la fórmula: $\varphi$ $\psi$

ψ ( w , z ) = φ ( z , w ) ¯ . {\displaystyle \psi (w,z)={\overline {\varphi (z,w))).}

\psi (w,z)={\overline {\varphi (z,w))).

En el caso general, y serán diferentes, y sus matrices son conjugadas hermitianas . Si las formas coinciden, se dice que es hermítica . De manera similar, si son opuestos entre sí, entonces se dice que son sesgados-hermitianos .

\psi

\varphi

\varphi

\varphi

Representación matricial

Sea un espacio vectorial complejo de dimensión finita, entonces, para cualquier

base, la forma sesquilineal se puede representar usando una matriz de acuerdo con la siguiente fórmula:

V

{\displaystyle \left\{e_{i}\right\}_{i))

\varphi

\Fi

φ ( w , z ) = φ ( ∑ i w i mi i , ∑ j z j mi j ) = ∑ i ∑ j w i z j ¯ φ ( mi i , mi j ) = w T Φ z ¯ . {\displaystyle \varphi (w,z)=\varphi \left(\sum_{i}w_{i}e_{i},\sum_{j}z_{j}e_{j}\right)=\ suma _ {i}\sum _ {j}w_{i}{\overline {z_{j}}}\varphi \left(e_{i},e_{j}\right)=w^{\mathrm {T } }\Phi {\sobrelínea {z}}.}

\varphi (w,z)=\varphi \left(\sum_{i}w_{i}e_{i},\sum_{j}z_{j}e_{j}\right)=\ suma _ {i}\sum _ {j}w_{i}{\overline {z_{j}}}\varphi \left(e_{i},e_{j}\right)=w^{\mathrm {T } }\Phi {\sobrelínea {z}}.

Los elementos de la matriz se determinan a partir de la condición

\Fi

\Phi _{ij}:=\varphi \left(e_{i},e_{j}\right).

Formas hermitianas

Una forma hermitiana (también una forma simétrica sesquilineal ) es una forma sesquilineal en un espacio complejo tal que $h:V\times V\to \mathbb {C}$ $V$

h ( w , z ) = h ( z , w ) ¯ . {\displaystyle h(w,z)={\overline {h(z,w))).}

h(w,z)={\overline {h(z,w))).

En el caso de definición positiva de tal forma (definida de manera similar al caso bilineal), se habla de un producto escalar hermitiano . El producto hermitiano estándar viene dado por la fórmula

⟨ w , z ⟩ = ∑ i = una norte w i z ¯ i . {\displaystyle \langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\overline {z}}_{i}.}

\langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}w_{i}{\overline {z}}_{i}.

Un par de un espacio vectorial y una forma hermitiana definida en él se llama

espacio hermitiano y, en el caso definido positivamente, un espacio complejo de Hilbert . Al escribir una forma hermitiana en forma arbitraria se obtiene una matriz hermitiana .

{\ estilo de visualización (V, h)}

Al aplicar la forma hermitiana al mismo vector

| z | h = h ( z , z ) {\ estilo de visualización | z | _ {h} = h (z, z)}

{\ estilo de visualización | z | _ {h} = h (z, z)}

siempre un número real . Se puede demostrar que una forma sesquilineal compleja es hermitiana si y solo si la forma cuadrática correspondiente es real para todos

{\ estilo de visualización z \ en V.}

Formas sesgadas-hermitianas

Una forma sesgada-hermitiana es una forma sesquilineal en un espacio complejo tal que $s:V\times V\to \mathbb {C}$ $V$

s ( w , z ) = − s ( z , w ) ¯ . {\displaystyle s(w,z)=-{\overline {s(z,w))).}

s(w,z)=-{\overline {s(z,w))).

Cada forma sesgada-hermitiana se puede representar como hermitiana multiplicada por .

i

Al escribir una forma sesgada-hermitiana de forma arbitraria, se obtiene una matriz sesgada-hermitiana (anti-hermitiana) .

Al aplicar la forma sesgada-hermitiana al mismo vector

| z | s = s ( z , z ) {\ estilo de visualización | z | _ {s} = s (z, z)}

{\ estilo de visualización | z | _ {s} = s (z, z)}

siempre un número puramente imaginario .

Por encima del anillo de división

El concepto de forma sesquilineal se puede generalizar a un anillo de división arbitrario. En el caso conmutativo, este es el dominio de la integridad , en el caso no conmutativo, el caso especial se usa con mayor frecuencia, cuando el anillo es un campo sesgado . En el caso conmutativo, en lo que sigue, todos los antiautomorfismos pueden considerarse simplemente automorfismos, ya que estos conceptos coinciden para anillos conmutativos.

Definición

Sea un anillo de división y sea un

antiautomorfismo fijo de este anillo. Entonces , la forma -sesquilineal del módulo izquierdo es un mapeo bilineal tal que para cualquiera de los módulos y cualquier escalar de los siguientes se cumple:

k

\sigma

\sigma

k

METRO

{\ estilo de visualización \ varphi \ dos puntos M \ veces M \ a K}

x, y

METRO

\Alfa Beta

k

\varphi (x\alpha, y\beta)=\alpha \,\varphi (x,y)\,\sigma (\beta).

Complemento ortogonal

Para una forma sesquilineal dada en un módulo y un

submódulo del módulo , el complemento ortogonal es

\varphi

METRO

W

METRO

W

W^{\perp }=\{\mathbf {v} \in M\mid \varphi (\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=0,\ \forall \mathbf {w} \in W\}.

De manera similar, se dice que un elemento es

ortogonal a un elemento con respecto a la forma si . Esto se denota como , o simplemente , si la forma es clara por el contexto. Esta relación no es necesariamente simétrica , es decir, no se sigue de . Si para todos sigue , entonces la forma se llama reflexiva .

x \en M

y\en M

\varphi

{\ estilo de visualización \ varphi (x, y) = 0}

x\perp_{\varphi}y

x\perp y

x\perp y

y\perp x

x, y

x\perp y

y\perp x

Ejemplo

Sea un espacio vectorial tridimensional sobre

un campo finito , donde es la potencia de un número primo . Sean dos vectores y dados por coordenadas en la base estándar y . Entonces el mapeo se puede definir mediante la fórmula:

V

F=\nombre del operador {GF} (q^{2})

q

X

y

(x_1,x_2,x_3)

{\ estilo de visualización y_{1},y_{2},y_{3))

\varphi

\varphi (x,y)=x_{1}y_{1}{}^{q}+x_{2}y_{2}{}^{q}+x_{3}y_{3}{ }^{q}.

El mapeo es un automorfismo que es

una involución . El mapeo es una forma sesquilineal. Esta forma es hermítica, y la matriz correspondiente a esta forma en la base estándar es simplemente la matriz identidad .

{\ estilo de visualización \ sigma: t \ mapas para t ^ {q}}

F

\varphi

\sigma

{\ Displaystyle M_ {\ varphi}}

Véase también

Notas

↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría. - cap. VI, § 6.3. — M.: Fizmatlit, 2009.
↑ nota 1 en Anthony Knapp Basic Algebra (2007) pág. 255 Archivado el 31 de octubre de 2021 en Wayback Machine .

Literatura

Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría, Fizmatlit, Moscú, 2009.
Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8 , < https://archive.org/details/finitegeometries0000demb >
Gruenberg, KW & Weir, AJ (1977), Geometría lineal (2.ª ed.), Springer, ISBN 0-387-90227-9
Jacobson, Nathan J. (2009), Álgebra básica I (2.ª ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1

Recursos externos

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), forma sesquilineal , Enciclopedia de Matemáticas , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4