Condición de pizarrero

La condición de Slater es una condición suficiente para la dualidad estricta en un problema de optimización convexo . La condición lleva el nombre de Morton L. Slater [1] . De manera informal, la condición de Slater establece que una región válida debe tener un punto interior (consulte los detalles a continuación).

La condición de Slater es un ejemplo de condiciones de regularidad [2] . En particular, si se cumple la condición de Slater para el problema primal , entonces la brecha de dualidad es 0 y, si el valor del problema dual es finito, se alcanza [3] .

Redacción

Considere el problema de optimización

Minimizar

{\ estilo de visualización f_ {0} (x)}

Con restricciones

f_{i}(x)\leqslant 0,i=1,\ldots,m

hacha=b

donde son funciones convexas . Este es un ejemplo de un problema de programación convexa . ${\displaystyle f_{0},\ldots,f_{m))$

En otras palabras, la condición de Slater para la programación convexa establece que la dualidad fuerte se cumple si existe un punto que se encuentra estrictamente dentro del dominio de las soluciones factibles (es decir, todas las restricciones se cumplen, pero las restricciones no lineales se cumplen como desigualdades estrictas). $x^{*}$ $x^{*}$

Matemáticamente, la condición de Slater establece que la dualidad fuerte se cumple si existe un punto (donde relint denota el interior relativo de un conjunto convexo ) tal que $x^{*}\in\operatorname {relint} (D)$ $D:=\cap _{i=0}^{m}\operatorname {dom} (f_{i})$

f_{i}(x^{*})<0,i=1,\ldots,m,

(restricciones no lineales convexas)

Ax^{*}=b.\,

[4] .

Desigualdades generalizadas

Que se dé la tarea

Minimizar

{\ estilo de visualización f_ {0} (x)}

Con restricciones

f_{i}(x)\leqslant _{K_{i}}0,i=1,\ldots,m

hacha=b

donde la función es convexa y es convexa para cualquier . Entonces la condición de Slater dice que en el caso cuando existe , tal que $f_0$ $f_{i}$ $K_{yo}$ $i$ $x^{*}\in\operatorname {relint} (D)$

f_{i}(x^{*})<_{K_{i}}0,i=1,\ldots,m

Hacha^{*}=b

entonces hay dualidad estricta [4] .

Notas

↑ Slater, 1950 .
↑ Takayama, 1985 , pág. 66–76.
↑ Borwein, Lewis, 2006 .
↑ 1 2 Boyd, Vandenberghe, 2004 .

Literatura

Morton Slater. Documento de debate de la Comisión Cowles No. 403 . - 1950. Reimpreso en
- Huellas y aparición de la programación no lineal / Giorgio Giorgi, Tinne Hoff Kjeldsen. — Basilea: Birkhäuser, 2014. — págs. 293–306. — ISBN 978-3-0348-0438-7 .
Akira Takayama. Economía Matemática . - Nueva York: Cambridge University Press, 1985. - ISBN 0-521-25707-7 .
Jonathan Borwein, Adrián Lewis. Análisis Convexo y Optimización No Lineal: Teoría y Ejemplos. — 2do. - Springer, 2006. - ISBN 0-387-29570-4 .
Stephen Boyd, Lieven Vandenberghe. Optimización convexa . - Prensa de la Universidad de Cambridge, 2004. - ISBN 978-0-521-83378-3 .