Filtrado (procesos aleatorios)

El filtrado en la teoría de los procesos aleatorios es una familia no decreciente de σ-álgebras .

Definición

Deje que se dé un espacio de probabilidad y un subconjunto de la recta numérica . Una familia de σ-álgebras tal que $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $T\subconjunto \mathbb {R}$ $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}$

{\mathcal {F}}_{s}\subconjunto {\mathcal {F}}_{t}\subconjunto {\mathcal {F}},\quad \forall s\leq t,\;s,t\in T,

se llama el filtrado del espacio de probabilidad . $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$

Filtrado natural de un proceso aleatorio

Sea dado un proceso aleatorio definido en algún espacio de probabilidad. definamos $\{X_{t}\}_{t\en T}$

{\mathcal {F}}_{t}^{X}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t,\;s\in T\},\quad t\in T.

Entonces la familia es una filtración y se llama la filtración natural de un proceso aleatorio . $\left\{{\mathcal {F}}_{t}^{X}\right\}_{{t\in T}}$ $\{X_{t}\}$

Véase también

Literatura

Skorokhod A.V. Probabilidad. Aspectos Aplicados, Teoría de la Probabilidad - 1, Itogi Nauki i Tekhniki. Ser. Moderno problema estera. Fundam. direcciones, 43, VINITI, M., 1989, pp. 189-270
Shiryaev A. N. Probabilidad, - M .: Nauka, 1989.