Martingala

Para el sistema de juego, véase Martingala ; para el elemento del arnés del caballo, véase Martingale

La martingala en la teoría de los procesos aleatorios es un proceso tan aleatorio que la mejor predicción (en el sentido de raíz cuadrada media) del comportamiento del proceso en el futuro es su estado actual.

Martingalas de tiempo discreto

Una secuencia de variables aleatorias se llama martingala con tiempo discreto si $\{X_{n}\}_{n\en \mathbb {N} }$

${\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N}$ ;
${\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid X_{1},\ldots,X_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N}$ .

Sea dada otra secuencia de variables aleatorias . Entonces, una secuencia de variables aleatorias se denomina martingala relativa o -martingala si $\{Y_{n}\}_{n\en \mathbb {N} }$ $\{X_{n}\}_{n\en \mathbb {N} }$ $\{Y_{n}\}$ $\{Y_{n}\}$

${\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N}$ ;
${\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid Y_{1},\ldots,Y_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N}$ .

Martingalas con tiempo continuo

Sea un espacio de probabilidad con una filtración definida en él , donde . Entonces un proceso aleatorio se llama martingala con respecto a , si $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}$ $T\subconjunto \mathbb {R}$ $\{X_{t}\}_{t\en T}$ $\{{\mathcal {F}}_{t}\}$

$X_{t}$ es medible con respecto a cualquier . ${\mathcal {F}}_{t}$ $t\en T$
${\mathsf {E}}|X_{t}|<\infty,\quad t\in T$ .
${\mathsf {E}}[X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]=X_{s}$ casi seguro _ [una] $\quad \forall s,t\in T,\;s\leq t$

Si la filtración natural se toma como , entonces simplemente se llama martingala. $\{{\mathcal {F}}_{t}\}$ ${\mathcal {F}}_{t}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t\}$ $\{X_{t}\}$

Sub y super martingalas

Sea dada una secuencia de variables aleatorias . Entonces la secuencia de variables aleatorias se llama sub(super)martingala con respecto a si $\{Y_{n}\}_{n\en \mathbb {N} }$ $\{X_{n}\}_{n\en \mathbb {N} }$ $\{Y_{n}\}$

${\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty,\quad n\in \mathbb {N};$
${\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid Y_{1},\ldots,Y_{n}]\geq (\leq)X_{n},\quad n\in \mathbb {N} .$

Un proceso aleatorio se llama sub(super)martingala con respecto a si $\{X_{t}\}_{t\en T},\;T\subconjunto \mathbb {R}$ $\{{\mathcal {F}}_{t}\}$

$X_{t}$ es medible con respecto a cualquier . ${\mathcal {F}}_{t}$ $t\en T$
${\mathsf {E}}|X_{t}|<\infty,\quad t\in T$ .
${\mathsf {E}}[X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]\geq (\leq)X_{s},\quad \forall s,t\in T,\; s \ leq t$ .

Si la filtración natural se toma como , entonces simplemente se llama sub(super)martingala. $\{{\mathcal {F}}_{t}\}$ ${\mathcal {F}}_{t}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t\}$ $\{X_{t}\}$

Propiedades

Un proceso aleatorio es una martingala si y solo si es a la vez una submartingala y una supermartingala.
Si es una martingala, entonces . $\{X_{t}\}$ ${\mathsf {E}}X_{t}=\mathrm {const}$
Si es una submartingala, entonces es una supermartingala. $\{X_{t}\}$ ${\ estilo de visualización \ {-X_ {t} \}}$
Si es una martingala y es una función convexa , entonces es una submartingala. Si es una función cóncava , entonces es una supermartingala. $\{X_{t}\}$ $f:\mathbb {R} \a \mathbb {R}$ ${\ estilo de visualización \ {f (X_ {t}) \}}$ $F$ ${\ estilo de visualización \ {f (X_ {t}) \}}$
En términos generales, una martingala no es un proceso de Markov .
- Lo contrario también es cierto: un proceso de Markov no necesita ser una martingala.

Ejemplos

Considere un juego en el que se lanza una moneda y si sale cara, el jugador gana 1 rublo. , y en caso de “cruz” pierde 1 frotamiento. Después:
- si la moneda está equilibrada, entonces el estado del jugador en función del número de juegos es una martingala;
- si es más probable que salga cara, entonces el estado del jugador es submartingala;
- si es más probable que salga cara, entonces el estado del jugador es una supermartingala.

El proceso de Wiener (este es un modelo matemático del movimiento browniano ) es una martingala.

Notas

↑ A. V. Bulinsky, A. N. Shiryaev. Teoría de los procesos estocásticos Archivado el 15 de febrero de 2017 en Wayback Machine . Fizmatlit, 2005, p.9.

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En catálogos bibliográficos	BNF : 11932329h J9U : 987007553375505171 LCCN : sh85081645 NDL : 00567500