Forma de Beauville-Bogomolov

La forma Beauville-Bogomolov (también Beauville-Bogomolov-Fujiki ) es una forma cuadrática que existe en la segunda cohomología de una variedad hiperkähler compacta . El nombre de Arnaud Beauville y Fyodor Bogomolov . $H^{2}(X,{\mathbb {C}})$

Definición

Sea un generador en , elegido de modo que (es decir, la forma simpléctica de ). Entonces cualquier forma 2 admite una descomposición en componentes de Hodge : . Definimos la forma cuadrática mediante la siguiente fórmula: $\sigma$ $H^{{2,0}}(X,{\matemáticas {C}})$ $\int_{{X}}(\sigma \overline {\sigma})^{{n}}=1$ $\alpha =\lambda \sigma +\mu \overline {\sigma }+\beta ;\beta \in H^{{1,1}}(X)$

$q(\alpha )=\lambda \mu +n/2\int _{{X}}\beta ^{{2}}(\sigma \overline {\sigma })^{{n-1}}$

Propiedades de la forma Beauville-Bogomolov

Sea una deformación local universal (su base será una bola). Entonces para suficientemente cerca de , , (en la última fórmula denota una forma bilineal simétrica construida de acuerdo con la forma cuadrática definida arriba). ${\mathfrak {X}}\a B$ $X$ $B$ $en B$ ${\ estilo de visualización 0}$ $q({\sigma}_{{t)))=0$ $q({\sigma}_{t},\overline {{\sigma}_{t)))>0$ $q$
Un mapa que apunta un punto a un punto correspondiente a una forma en la segunda proyectivización de cohomología es, además, un isomorfismo local con un conjunto de ceros de la forma ( teorema local de Torelli ). $en B$ ${\sigma}_{t}$ ${\mathbb {P}}(H^{{2}}(X,{\mathbb {C))))$ $q$
$q|_{{H^{{2))(X,{\mathbb {R))))}$ es una forma no degenerada de la firma , donde es el segundo número Betti . $(3,b_{{2}}(X)-3)$ $b_{2}$
Relación de Fujika : si , donde es una constante que no depende de la estructura compleja (sino solo de su topología). $\alpha \in H^{{2}}(X,{\mathbb {R}});{q(\alpha )}^{{n}}=c\int _{{X}}{\alpha } ^{{2n}}$ $C$ $X$

Enlaces

Teorema global de Torelli para variedades de hiperkaehler , Misha Verbitsky