Forma de matar

La forma Killing es una forma bilineal simétrica en un álgebra de Lie de cierto tipo.

Historia

La forma de Matar fue presentada por Cartan en su disertación. El nombre "Forma de matar" fue introducido por primera vez por Borel en 1951 en honor a Wilhelm Killing . En 2001, afirmó que no recuerda por qué eligió este nombre en particular y argumenta que sería más correcto llamarlo "forma de Cartan" [1] .

Definición

Considere un álgebra de Lie sobre un campo . Cada elemento de define un endomorfismo $\mathfrak{g}$ $k$ $X$ $\mathfrak{g}$ $\mathrm {anuncio} _{x}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$

\mathrm {anuncio} _{x}\colon z\mapsto [x,z],

donde esta el corchete de mentira. Suponga que tiene una dimensión finita. Luego , la traza de composición de tales endomorfismos define una forma bilineal simétrica ${\ estilo de visualización [{*}, {*}]}$ $\mathfrak{g}$

B(x,y)=\mathrm {traza} (\mathrm {anuncio} _{x}\circ \mathrm {anuncio} _{y})

con valores en . Esta forma se llama Forma de Matar en [2] . $k$ $B$ $\mathfrak{g}$

Propiedades

La forma Killing es bilineal y simétrica.
La forma Matar es una forma invariable, es decir, ${\ estilo de visualización B ([x, y], z) = B (x, [y, z]),}$

donde esta el corchete de mentira.

{\ estilo de visualización [{*}, {*}]}

Si es un álgebra de Lie simple , entonces cualquier forma bilineal simétrica invariante es proporcional a la forma Killing. $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$
La forma Killing también es invariante bajo los automorfismos del álgebra de Lie, es decir ${\ Displaystyle B (s (x), s (y)) = B (x, y)}$

donde _

s\in Aut({\mathfrak {g)))

En particular, el campo de formas invariante por la izquierda en el grupo de Lie correspondiente, que coincide con en la identidad, también es invariante por la derecha y, por lo tanto, biinvariante. $B$

El criterio de Cartan establece que un álgebra de Lie es semisimple si y solo si la forma Killing no es degenerada.
La forma Killing de un álgebra nilpotente es idénticamente cero.
Si y son dos ideales en el álgebra de Lie con intersección cero, entonces y forman subespacios ortogonales con respecto a la forma Killing. $yo$ $j$ $\mathfrak{g}$ $yo$ $j$
El complemento ortogonal con respecto al ideal con respecto a la forma Killing también es un ideal.
Si un álgebra de Lie es una suma directa de sus ideales, entonces su forma de Matar es una suma directa de formas de Matar en términos individuales. [3]

Véase también

casimiro invariante

Notas

↑ Borel, Armand. Ensayos sobre la historia de los grupos de Lie y los grupos algebraicos. - Sociedad Matemática Americana y Sociedad Matemática de Londres, 2001. - Vol. 21.- (Historia de las Matemáticas).
↑ William Fulton, Joe Harris. Teoría de la Representación (Inglés) // Textos de Posgrado en Matemáticas. - 2004. - ISSN 2197-5612 0072-5285, 2197-5612 . -doi : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 .
↑ Introducción a los grupos de Lie y álgebras de Lie . www.math.stonybrook.edu . Consultado el 21 de junio de 2021. Archivado desde el original el 20 de septiembre de 2021. (indefinido)