Forma de Maurer-Cartan

La forma de Maurer-Cartan es una forma definida de 1 en un grupo de Lie G con valores en su álgebra de Lie , que lleva información infinitesimal básica sobre la estructura de este grupo. Fue ampliamente utilizado por Eli Cartan como el componente principal de su método de mover puntos de referencia . Además del nombre de Cartan, lleva el nombre de Ludwig Maurer .

Edificio

El álgebra de Lie se identifica con el espacio tangente del grupo de Lie G en la identidad y se denota por T e G . La forma de Maurer-Cartan ω  es una forma definida globalmente en G , que es un mapeo lineal de los espacios tangentes T g G para cada g ∈ G en T e G . Se define como la traslación del vector T g G bajo la acción de un desplazamiento a la izquierda sobre el grupo:

Construcción interna

Si G está incrustado en GL( n ) mediante un mapeo matricial g =( g ij ) , entonces la forma ω puede escribirse explícitamente como

En este sentido, la forma de Maurer-Cartan es siempre la derivada logarítmica izquierda de g .

Literatura

• Cartan E. J. Geometría riemanniana en un marco ortogonal . -M.: editorial de la Universidad Estatal de Moscú, [1926-1927] 1960
• Cartan E. Zh. Geometría de los espacios de Riemann . -M.-L: editorial de la NKTP URSS, [1928] 1936
• Cartan E. Zh. Método de marco móvil, teoría de grupos continuos y espacios generalizados . -M.-L.: Editorial estatal de carácter técnico y teórico. literatura, [1930]1933
• Kartan E. Zh. La teoría de los grupos continuos finitos y la geometría diferencial presentada por el método del marco móvil . -M.: Editorial MSU, [1930] 1963
• Kartan E. Zh. Sistemas diferenciales externos y sus aplicaciones geométricas . -M.: editorial de la Universidad Estatal de Moscú, [1926-1927,1945] 1962
• Cartan E. Zh. Geometría de grupos de Lie y espacios simétricos . -M.: editorial IL, 1949