Derivada logarítmica

La derivada logarítmica es la derivada del logaritmo natural de una función.

$(\ln f)' = \frac{f'}{f}$

A menudo se usa para simplificar la búsqueda de la derivada de algunas funciones, por ejemplo, las exponenciales compuestas.

Aplicación

Derivada de función exponencial

Sea (por brevedad , donde u y g son funciones). ${\ Displaystyle f (x) = u (x) ^ {g (x)))$ ${\ estilo de visualización f = u ^ {g}}$

Entonces , . Por otro lado, , es decir . ${\ estilo de visualización \ ln f = \ ln u ^ {g} = g \ ln u}$ $(\ln f)'=(g\ln u)'=g'\cdot \ln u+g\cdot {\frac {u'}{u))$ $(\ln f)' = \frac{f'}{f}$ $f' = f\cdot(\ln f)'$

Finalmente tenemos $(u^g)' = u^g(g'\cdot\ln u+g\cdot\frac{u'}{u})$

Derivada de un producto de funciones

Sea una función dada (por brevedad ). $f(x)=\prod_{i=1}^{n}g_{i}(x)$ $f=\prod_{i=1}^{n}g_{i}$

Desde . ${\displaystyle f'=f\cdot (\ln f)'=\prod_{i=1}^{n}g_{i}(\ln \prod_{j=1}^{n}g_{j })'=\prod_{i=1}^{n}g_{i}(\sum_{j=1}^{n}\ln g_{j})'=\prod_{i=1} ^{n}g_{i}\sum_{j=1}^{n}(\ln g_{j})'=\prod_{i=1}^{n}g_{i}\sum__ j=1}^{n}{\frac{g_{j}'}{g_{j))))$

Finalmente obtenemos : $f'=(\prod_{i=1}^{n}g_{i})'=\prod_{i=1}^{n}g_{i}\sum_{j=1} ^{n}{\frac {g_{j}'}{g_{j}}}=f\cdot \sum _{j=1}^{n}{\frac {g_{j}'}{g_{ j}}}$

Puedes escribir la fórmula y llegar a una forma diferente:

si , entonces

{\displaystyle f=g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n))

f'=g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}\cdot \left({\frac {g_{1}'}{g_{1))}+{ \frac {g_{2}'}{g_{2}}}+\ldots +{\frac {g_{n}'}{g_{n}}}\right)

Expandiendo los paréntesis, obtenemos:

f'=g_{1}'\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}+g_{1}\cdot g_{2}'\cdot \ldots \cdot g_{n}+ \ldots +g_{1}\cdot g_{2}\cdot \ldots \cdot g_{n}'

En particular, si , entonces $f={\frac {u_{1}^{\alpha _{1}}\cdot u_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot u_{m}^{\ alfa _{m)}}{v_{1}^{\beta _{1}}\cdot v_{2}^{\beta _{2}}\cdot \ldots \cdot v_{n}^{\beta _{norte}}}}$ $f'={\frac {u_{1}^{\alpha _{1}}\cdot u_{2}^{\alpha _{2}}\cdot \ldots \cdot u_{m}^{ \alpha _{m))}{v_{1}^{\beta _{1}}\cdot v_{2}^{\beta _{2}}\cdot \ldots \cdot v_{n}^{\ beta _{n))))\cdot \left(\alpha _{1}\cdot {\frac {u_{1}'}{u_{1))}+\alpha _{2}\cdot {\frac {u_{2}'}{u_{2}}}+\ldots +\alpha _{m}\cdot {\frac {u_{m}'}{u_{m}}}-\beta_{1} \cdot {\frac {v_{1}'}{v_{1}}}-\beta _{2}\cdot {\frac {v_{2}'}{v_{2}}}-\ldots -\ beta _{n}\cdot {\frac {v_{n}'}{v_{n))}\right)$

Ejemplo

Encontremos la derivada de la función : ${\frac{df}{dx))$ $f(x) = x^x$

\frac{df}{dx} = f(\ln f)' = x^x(x \ln x)' = x^x(\ln x + 1)

Véase también

Derivado

Calculo diferencial

Principal

vistas privadas

Operadores diferenciales
( en varias coordenadas )

Primer orden	operador nabla Degradado Divergencia Rotor Helmholtziano
segundo orden	Operador elíptico operador de Laplace Operador vectorial de Laplace Operador D'Alembert Operador de Laplace-Beltrami
órdenes superiores	Operador hipoelíptico

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