Métrica ferroviaria francesa

La métrica ferroviaria francesa es un ejemplo poco común de una métrica .

El nombre de esta métrica proviene de la red ferroviaria muy céntrica de Francia (especialmente antes) , en la que casi todas las vías convergían en París .

Las consecuencias de esto eran tales que, por ejemplo, para llegar en tren de Estrasburgo a Lyon , había que dar un rodeo de 400 km por París, había que soportar que no hubiera conexión directa.

Esto llevó a un matemático desconocido a definir la siguiente métrica: si hay un conjunto de puntos en el plano (ciudades en Francia con una conexión ferroviaria a través de París) y - se elige un punto fijo (París), entonces se puede definir la métrica de la siguiente manera : $X$ $pags$ $X$ $\rho \colon X\times X\to {\mathbb {R}}$

\rho (x,y)=\left.{\begin{casos}\|xy\|,&x-p=\lambda (yp)\\\|xp\|+\|yp\|,&x -p\neq \lambda (yp)\end{cases}}\right.,\quad x,y\in X,\lambda \in \mathbb {R} .

Aquí debe entenderse como la distancia a lo largo de la vía férrea de ciudad a ciudad . $\rho (x, y)$ $X$ $y$

Esta construcción admite una generalización elemental a cualquier espacio normado .

Propiedades

En el caso no degenerado, es decir, cuando hay vectores no colineales, la métrica ferroviaria francesa es el ejemplo más simple de una métrica que no es generada por una norma.

De hecho, supongamos lo contrario. Que exista tal regla. Tomemos dos vectores no colineales y , para los cuales . Entonces los vectores y son también no colineales, y $a$ $b$ $\left|a\right|\leqslant \left|b\right|$ $a+b$ $b$

\rho (p+a,\,p)\leqslant \rho (p,\,p+b)<\rho (p+a+b,\,p+b)

Para la métrica generada por la norma, se viola esta desigualdad: $d$

d(p+a,p)=|p+ap|=|a|\leq d(p,p+b)=|ppb|=|-b|=|b|<d(p+a +b,p+b)=|p+a+bpb|=|a|.

Por tanto, no existe una norma que genere la métrica ferroviaria francesa en el sentido de que $|\cdot |$ ${\ estilo de visualización \ rho (x, \, y) = | xy |.}$

Nombres en p = 0

Para una norma sobre la métrica del metro francés es la métrica sobre , definida como [1] [2] : $\|\cdot \|$ $\matemáticas {R} ^{2}$ $\matemáticas {R} ^{2}$

\rho (x,y)=\left.{\begin{cases}\|xy\|,&x=\lambda y\\\|x\|+\|y\|,&x\neq \lambda y\end{casos}}\right.,\quad x,y\in X,\lambda \in \mathbb {R} .

En otras palabras, la metrométrica francesa se define como la longitud del camino más corto desde el punto x hasta el punto y si x , y y el origen están en la misma línea recta, y la longitud del camino más corto desde x hasta y que pasa por el origen, en caso contrario.

La métrica francesa del metro es la misma que la métrica francesa del ferrocarril en el caso particular donde París está en el origen ( p = 0).

Para la norma euclidiana , la métrica del metro francés también se denomina métrica parisina , métrica erizo , métrica radial o métrica SNCF reforzada [1] [2] [3] . $\|\cdot \|_{2}$

Métrica ferroviaria británica

Para la norma sobre (generalmente sobre ) la métrica ferroviaria británica es la métrica sobre (sobre ), definida como $\|\cdot \|$ $\matemáticas {R} ^{2}$ $\mathbb{R} ^{n}$ $\matemáticas {R} ^{2}$ $\mathbb{R} ^{n}$

\|x\|+\|y\|

si , y como 0 en caso contrario. También se denomina métrica de oficina de correos , métrica de Caterpillar y métrica de lanzadera [1] [2] . $x\ney$

En otras palabras, según la métrica ferroviaria británica, siempre hay que desviarse por el origen, a menos que el punto de partida sea el mismo que el punto de destino.

En el Reino Unido, la métrica del ferrocarril británico (British Rail metric ) a veces se llama la métrica del metro francés [4] .

Ejemplos

pags	X	y	FZhDM [5]	MMF [6]	IBJD [7]
$(0;0)$	$(0;3)$	$(6;5)$	$3+{\ sqrt {61}}$	$3+{\ sqrt {61}}$	$3+{\ sqrt {61}}$
$(0;0)$	$(0;3)$	$(0;6)$	$3$	$3$	${\ sqrt {45}}$
$(-3;2)$	$(0;3)$	$(0;6)$	${\ sqrt {10}}+5$	$3$	${\ sqrt {45}}$
	$(0;3)$	$(6;5)$	${\ sqrt {40}}$	$3+{\ sqrt {61}}$	$3+{\ sqrt {61}}$
	$(5;12)$	$(12;5)$	${\raíz cuadrada {164}}+{\raíz cuadrada {234}}$	$26$	$26$
	$(5;12)$	$(5;12)$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 0}$	${\ estilo de visualización 0}$

Véase también

Notas

↑ 1 2 3 Elena Deza, Michelle Marie Deza. Diccionario Enciclopédico de Distancias = Diccionario de Distancias. - M. : Nauka, 2008. - S. 278 . — ISBN 978-5-02-036043-3 .
↑ 1 2 3 Elena Deza, Michel Marie Deza. Enciclopedia de distancias . - Springer, 2009. - S. 325 -326. - ISBN 978-3-642-00233-5 .
↑ Weisstein, Eric W. French Metro Metric en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ Math 125A: Real Analysis, otoño de 2012. Capítulo 7. Espacios métricos . Consultado el 24 de julio de 2013. Archivado desde el original el 6 de diciembre de 2013. (indefinido)
↑ Métrica ferroviaria francesa
↑ Metro métrico francés
↑ Métrica ferroviaria británica (no según la definición utilizada en el Reino Unido)