Plano

El plano es uno de los conceptos fundamentales en geometría . En una presentación sistemática de la geometría, se suele tomar como uno de los conceptos iniciales el concepto de plano, que sólo indirectamente está determinado por los axiomas de la geometría. En estrecha relación con el plano, se acostumbra considerar los puntos y líneas que le pertenecen ; también, por regla general, se presentan como conceptos indefinidos, cuyas propiedades se especifican axiomáticamente [1] .

Algunas propiedades características del avión

Un plano es una superficie que contiene completamente todas las líneas que conectan cualquiera de sus puntos ;
Dos planos son paralelos o se cortan en línea recta.
Una línea recta es paralela a un plano, o lo corta en un punto, o está en un plano.
Dos rectas perpendiculares al mismo plano son paralelas entre sí.
Dos planos perpendiculares a la misma recta son paralelos entre sí.

Ecuaciones planas

Encontrado por primera vez en A. K. Clairaut ( 1731 ).

La ecuación del plano en segmentos, aparentemente, fue encontrada por primera vez por G. Lame ( 1816-1818 ) .

La ecuación normal fue introducida por L. O. Hesse ( 1861 ).

Un plano es una superficie algebraica de primer orden : en un sistema de coordenadas cartesianas, un plano puede definirse mediante una ecuación de primer grado.

Ecuación general (completa) del plano

Ax+By+Cz+D=0\qquad (1)

donde y son constantes, además, y no son iguales a cero al mismo tiempo; en forma vectorial : $A B C$ $D$ $A,B$ $C$

({\mathbf {r)),{\mathbf {N)))+D=0

donde es el radio vector del punto , el vector es perpendicular al plano (vector normal). Cosenos directores del vector : $\mathbf{r}$ ${\ estilo de visualización M (x, y, z)}$ ${\mathbf{N}}=(A,B,C)$ ${\ matemáticas {N}}$

\cos \alpha ={\frac {A}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))},

\cos \beta ={\frac {B}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))},

\cos \gamma ={\frac {C}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))}.

Si uno de los coeficientes en la ecuación del plano es cero, se dice que la ecuación es incompleta . Para , el plano pasa por el origen de coordenadas , para (o , ) el plano es paralelo al eje (respectivamente , o ). Para ( , o ), el plano es paralelo al plano ( o , respectivamente ). $D=0$ $A=0$ ${\ estilo de visualización B = 0}$ $C=0$ $Buey$ $Oye$ ${\ estilo de visualización Oz}$ ${\ estilo de visualización A = B = 0}$ ${\ estilo de visualización A = C = 0}$ ${\ estilo de visualización B = C = 0}$ $oxi$ ${\ Displaystyle Oxz}$ ${\ Displaystyle Oyz}$

Ecuación de un plano en segmentos:

{\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1,

donde , , son los segmentos cortados por el plano en los ejes y . $a=-D/A$ ${\ estilo de visualización b = -D/B}$ $c=-D/C$ ${\ Displaystyle Buey, Oy}$ ${\ estilo de visualización Oz}$

Ecuación de un plano que pasa por un punto perpendicular al vector normal : ${\ estilo de visualización M (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ ${\mathbf{N}}(A,B,C)$

A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;

en forma vectorial:

(({\mathbf {r}}-{\mathbf {r_{0}}}),{\mathbf {N}})=0.

Ecuación de un plano que pasa por tres puntos dados que no están en una línea recta : ${\ estilo de visualización M (x_ {i}, y_ {i}, z_ {i})}$

(({\mathbf {r}}-{\mathbf {r_{1}}}),({\mathbf {r_{2}}}-{\mathbf {r_{1}}}),({\mathbf {r_{3}}}-{\mathbf{r_{1}}}))=0

(producto mixto de vectores), en caso contrario

\left|{\begin{matriz}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2 }-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\\end{matriz}}\right|=0.

Ecuación del plano normal (normalizado)

x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\qquad (2)

en forma vectorial:

({\mathbf {r)),{\mathbf {N^{0}}}){\mathbf {-p}}=0,

donde - vector unitario, - distancia P. desde el origen. La ecuación (2) se puede obtener de la ecuación (1) multiplicando por el factor de normalización ${\mathbf{N^{0))}$ $pags$

\mu =\pm {\frac {1}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))}

(signos y son opuestos). $\mu$ $D$

Definición por punto y vector normal

En el espacio tridimensional, una de las formas más importantes de definir un plano es especificar un punto en el plano y el vector normal a él.

Digamos que es el radio vector de un punto definido en el plano, y digamos que n es un vector distinto de cero perpendicular al plano (normal). La idea es que un punto con vector de radio r está en el plano si y solo si el vector de a es perpendicular a n . $r_{0}$ $P_0$ $PAGS$ $P_0$ $PAGS$

Volvamos al hecho de que dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto escalar es igual a cero. De ello se deduce que el plano que necesitamos se puede expresar como el conjunto de todos los puntos r tales que:

\mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.

(Aquí, el punto significa producto escalar, no multiplicación).

Desarrollando la expresión, obtenemos:

n_{x}(x-x_{0})+n_{y}(y-y_{0})+n_{z}(z-z_{0})=0,

que es la conocida ecuación del plano.

Por ejemplo: Dado: un punto en el plano y un vector normal . $P(2,6,-3)$ $N(9,5,2)$

La ecuación del plano se escribe de la siguiente manera:

$9(x-2)+5(y-6)+2(z+3)=0$

$-18+9x-30+5y+6+2z=0$

$9x+5y+2z-42=0$

Distancia de un punto a un plano

La distancia de un punto a un plano es la menor de las distancias entre ese punto y los puntos del plano. Se sabe que la distancia de un punto a un plano es igual a la longitud de la perpendicular que cae de este punto al plano.

Desviación de un punto del plano dada por la ecuación normalizada ${\ estilo de visualización M_ {1} (x_ {1}, y_ {1}, z_ {1})}$ $(2)$

\delta =x_{1}\cos \alpha +y_{1}\cos \beta +z_{1}\cos \gamma -p;

\delta>0

, si y el origen se encuentran en lados opuestos del plano, de lo contrario . La distancia de un punto a un plano es

M_{1}

{\ estilo de visualización \ delta <0}

{\ estilo de visualización | \ delta |.}

La distancia desde el punto , hasta el plano dada por la ecuación , se calcula mediante la fórmula: $\rho$ ${\ estilo de visualización M_ {0} (x_ {0}, y_ {0}, z_ {0})}$ $hacha+por+cz+d=0$

\rho ={\frac {\mid ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\mid }{{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2} }}}}

Distancia entre planos paralelos

La distancia entre los planos dada por las ecuaciones y : $Ax+By+Cz+D_{1}=0$ $Ax+By+Cz+D_{2}=0$

d={\frac {\mid D_{2}-D_{1}\mid }({\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))}

La distancia entre los planos dada por las ecuaciones y : ${\bar n}({\bar r}-{\bar {r_{1))})=0$ ${\bar n}({\bar r}-{\bar {r_{2))})=0$

d={\frac {\mid [{\bar r}_{2}-{\bar r}_{1},{\bar n}]\mid }{\mid {\bar n}\mid ))

Conceptos relacionados

Ángulo entre dos planos. Si las ecuaciones P. se dan en la forma (1), entonces

\cos \varphi ={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{{\sqrt {(A_{1}^{2} +B_{1}^{2}+C_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2})}}} };

Si está en forma vectorial, entonces

\cos \varphi ={\frac {({\mathbf {N_{1}}},{\mathbf {N_{2}}})}{|{\mathbf {N_{1}}}||{\mathbf {N_{2}}}|}}.

Los planos son paralelos si

{\ fracción {A_{1}}{A_{2}}}={\ fracción {B_{1}}{B_{2}}}={\ fracción {C_{1}}{C_{2}}}

o (producto cruzado)

[{\mathbf {N_{1}}},{\mathbf {N_{2}}}]=0.

Los planos son perpendiculares si

A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=0

o . (Producto escalar)

({\mathbf{N_{1}}}),{\mathbf{N_{2}}})=0

Haz de planos : todos los planos que pasan por la línea de intersección de dos planos. La ecuación de un haz de planos, es decir, todo plano que pasa por la línea de intersección de dos planos, tiene la forma [2] :222 :

\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z +D_{2})=0,

donde y son números que no son simultáneamente iguales a cero. La ecuación de esta línea en sí se puede encontrar a partir de la ecuación del haz sustituyendo α=1, β=0 y α=0, β=1.

\alfa

\beta

Un montón de aviones - todos los aviones que pasan por el punto de intersección de tres planos [2] :224 . La ecuación de un conjunto de planos, es decir, cualquier plano que pase por el punto de intersección de tres planos, tiene la forma:

\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z +D_{2})+\gamma (A_{3}x+B_{3}y+C_{3}z+D_{3})=0,

donde , y son todos los números distintos de cero al mismo tiempo. Este punto en sí se puede encontrar a partir de la ecuación del paquete sustituyendo α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 y α=0, β=0, γ=1 y resolviendo el sistema de ecuaciones resultante.

\alfa

\beta

\gama

Variaciones y generalizaciones

Planos en espacio no euclidiano

La métrica plana no necesita ser euclidiana . Según las relaciones de incidencia de puntos y líneas introducidas, se distinguen planos proyectivos , afines , hiperbólicos y elípticos [1] .

Planos multidimensionales

Sea dado un espacio n-dimensional afín-finito-dimensional , sobre el campo de los números reales. Tiene un sistema de coordenadas rectangulares . Un plano m es un conjunto de puntos cuyos radios vectores satisfacen la siguiente relación — una matriz cuyas columnas forman el subespacio guía del plano, — un vector de variables, — un radio vector de uno de los puntos del plano. La relación especificada se puede traducir de una forma de vector de matriz a una de vector: - la ecuación vectorial del plano m. Los vectores forman un subespacio guía. Dos m-planos se llaman paralelos si sus espacios guía son iguales y . $K^{n}(V,P)$ $O,{\vec {e_{1}}},...,{\vec {e_{n}}}$ $\alfa$ $\alpha =\{x\mid x=A_{nm}{\vec {t_{m}}}+{\vec {d}}\}.$ $A_{{nm}}$ ${\ vec {t}}$ ${\ vec {d}}$

$x={\vec {a_{1}}}t_{1}+\ldots +{\vec {a_{m}}}t_{m}+d,{\vec {a_{i}}} \en V$
${\vec {a_{i))}$ $\Alfa Beta$ $\existe x\en \alpha :x\no en \beta$

Un plano (n-1) en un espacio n-dimensional se denomina hiperplano o simplemente plano . Para un hiperplano, existe una ecuación general para un plano. Sea el vector normal del plano, sea el vector de variables, sea el radio vector de un punto perteneciente al plano, luego: sea la ecuación general del plano. Al tener una matriz de vectores directores, la ecuación se puede escribir de la siguiente manera: , o: . El ángulo entre planos es el ángulo más pequeño entre sus vectores normales. ${\vec{n}}$ ${\vec{r}}=(x^{1},...,x^{n})$ ${\ vec {r_{0))}$
$({\vec{r}}-{\vec{r_{0}}},{\vec{n}})=0$
$\det({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}}|A_{n,n-1})=0$
${\begin{vmatriz}x^{1}-x_{{0}}^{1}&a_{{1}}^{1}&a_{{2}}^{1}&...&a_{{n -1}}^{1}\\x^{2}-x_{{0}}^{2}&a_{{1}}^{2}&a_{{2}}^{1}&... &a_{{n-1}}^{2}\\...&...&...&...\\x^{n}-x_{{0}}^{n}&a_{{ 1}}^{n}&a_{{2}}^{n}&...&a_{{n-1}}^{n}\end{vmatriz}}=0$

Un ejemplo de un plano en un espacio tridimensional (n=3) es una línea recta . Su ecuación vectorial tiene la forma: . En el caso n = 2, la recta es un hiperplano. $\alpha =\{a_{x},a_{y},a_{z}\}t+\{b_{x},b_{y},b_{z}\}$

Un hiperplano en el espacio tridimensional corresponde al concepto habitual de plano.

Véase también

Notas

↑ 1 2 Enciclopedia de Matemáticas, 1984 .
↑ 1 2 Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Álgebra vectorial en ejemplos y problemas . - M. : Escuela Superior , 1985. - 232 p.

Literatura

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Geometría analítica. - M. : Fizmatlit, 2002. - 240 p.
Plano // Enciclopedia Matemática (en 5 tomos). - M .: Enciclopedia soviética , 1984. - T. 4. - S. 318-319.

Enlaces

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