Funciones Kelvin

Las funciones de Kelvin son un grupo de funciones de Bessel . Cada par de ellos representan soluciones de la ecuación diferencial :

x^{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+x{\frac {df}{dx}}-(ix^{2}+\nu ^ {2})f=0

Presentado por William Thomson (Lord Kelvin), quien los investigó en aplicaciones.

Funciones de Kelvin de primer tipo

Se definen de la siguiente manera:

\operatorname {ber} _{\nu }(x)=\operatorname {Re} \left(e^{\frac {i\nu \pi }{2}}\cdot I_{\nu }(x \cdot e^{\frac {i\pi }{4)))\right)

\operatorname {bei} _{\nu }(x)=\operatorname {Im} \left(e^{\frac {i\nu \pi }{2}}\cdot I_{\nu }(x \cdot e^{\frac {i\pi }{4)))\right)

donde esta la funcion de infeld ${\ Displaystyle I_ {\ nu} (x)}$

Para números enteros n, la expansión de la serie tiene lugar:

\mathrm {bei} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\ sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)} }\izquierda({\frac{x^{2}}{4}}\derecha)^{k}

\mathrm {ber} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\ porque \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)} }\izquierda({\frac{x^{2}}{4}}\derecha)^{k}

Funciones Kelvin de segundo tipo

Se definen de la siguiente manera: $\operatorname {ker} _{\nu }(x)=\operatorname {Re} \left(e^{-{\frac {i\nu \pi }{2))}\cdot K_{\nu }(x\cdot e^{\frac {i\pi }{4)))\right)$

\operatorname {kei} _{\nu }(x)=\operatorname {Im} \left(e^{-{\frac {i\nu \pi }{2))}\cdot K_{\nu }(x\cdot e^{\frac {i\pi }{4)))\right)

donde está la función de Macdonald . $K_{\nu}(x)$

Para números enteros n, la expansión de la serie tiene lugar:

\mathrm {kei} _{n}(x)=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{ \frac {(nk-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}-\ln \left({\frac {x {2}}\right)\mathrm {Bei} _ {n}(x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {Ber}_{n}(x)+{\frac {1 {2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\sin \left[\left({\frac {3n}{4 ))+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k )!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}

{\begin{alineado}\mathrm {ker} _{n}(x)&={\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^ {-n}\sum _{k=0}^{n-1}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right) \pi \right]{\frac {(nk-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}-\ln \left ({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {Ber} _{n}(x)+{\frac {\pi }{4}}\mathrm {Bei} _{n}(x) \\&{}\quad +{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\cos \ izquierda[\izquierda({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\derecha)\pi \derecha]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n +k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\end{alineado}}

Funciones Kelvin de tercer tipo

Se definen de la siguiente manera:

\operatorname {ella} _{\nu }(x)=\operatorname {Re} \left(H_{\nu }^{(1)}(x\cdot e^{\frac {3i\pi } {4)))\derecho)

\operatorname {hei} _{\nu }(x)=\operatorname {Im} \left(H_{\nu }^{(1)}(x\cdot e^{\frac {3i\pi } {4)))\derecho)

donde es la función de Hankel de primera especie . $H_{\nu}^{(1)}(x)$

Enlaces

Weisstein, Eric W. Kelvin Functions (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Kuznetsov D. S. - "Funciones especiales" - 1962