Funciones de Bessel

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Las funciones de Bessel en matemáticas son una familia de funciones que son soluciones canónicas de la ecuación diferencial de Bessel :

x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2} )y=0,

donde es un número real arbitrario (complejo en el caso general), llamado orden . $\alfa$

Las funciones de Bessel más utilizadas son funciones de órdenes enteros .

Aunque generan las mismas ecuaciones, se suele acordar que les corresponden distintas funciones (esto se hace, por ejemplo, para que la función de Bessel sea suave en ). $\alfa$ $(-\alfa)$ $\alfa$

Las funciones de Bessel fueron definidas por primera vez por el matemático suizo Daniel Bernoulli y recibieron su nombre de Friedrich Bessel .

Aplicaciones

La ecuación de Bessel surge al encontrar soluciones a la ecuación de Laplace y la ecuación de Helmholtz en coordenadas cilíndricas y esféricas . Por lo tanto, las funciones de Bessel se utilizan para resolver muchos problemas de propagación de ondas, potenciales estáticos, etc., por ejemplo:

ondas electromagnéticas en una guía de ondas cilíndrica ;
conductividad térmica en objetos cilíndricos;
formas de onda de una delgada membrana redonda;
la distribución de la intensidad de la luz difractada por el agujero redondo;
velocidad de partículas en un cilindro lleno de líquido y girando alrededor de su eje;
Funciones de onda en una caja de potencial esféricamente simétrica.

Las funciones de Bessel también se utilizan para resolver otros problemas, por ejemplo, en el procesamiento de señales.

La función de Bessel es una generalización de la función seno. Puede interpretarse como la vibración de una cuerda con espesor variable, tensión variable (o ambas condiciones simultáneamente); fluctuaciones en un medio con propiedades variables; vibraciones de la membrana del disco, etc.

Definiciones

Dado que la ecuación anterior es una ecuación diferencial lineal de segundo orden, debe tener dos soluciones linealmente independientes . Sin embargo, se eligen diferentes definiciones de estas decisiones dependiendo de las circunstancias. A continuación hay algunos de ellos.

Funciones de Bessel de primer tipo

Las funciones de Bessel del primer tipo, denotadas por , son soluciones que terminan en un punto para números enteros o no negativos . La elección de una función particular y su normalización están determinadas por sus propiedades. Se pueden definir estas funciones usando una expansión de la serie de Taylor cercana a cero (o una serie de potencias más general para números no enteros ): $J_{\alfa}(x)$ $x=0$ $\alfa$ $\alfa$

J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m)){m!\,\Gamma (m+\alpha + 1))){\izquierda({\frac {x}{2}}\derecha)}^{2m+\alfa}.

Aquí está la función gamma de Euler , una generalización del factorial a valores no enteros. La gráfica de la función de Bessel es similar a una onda sinusoidal cuyas oscilaciones decaen proporcionalmente , aunque en realidad los ceros de la función no se ubican periódicamente (sin embargo, la distancia entre dos ceros consecutivos tiende a ) [ 1] . $\gamma(z)$ ${\frac{1}{{\sqrt {x))))$ $\Pi$ $x\a\infty$

A continuación se muestran los gráficos para : $J_{\alfa}(x)$ $\alfa =0,1,2$

Si no es un número entero, las funciones y son linealmente independientes y, por lo tanto, son soluciones de la ecuación. Pero si es un número entero, entonces la siguiente relación es verdadera: $\alfa$ $J_{\alfa}(x)$ $J_{{-\alfa }}(x)$ $\alfa$

J_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J_{\alpha }(x).

Significa que en este caso las funciones son linealmente dependientes. Entonces, la segunda solución de la ecuación será la función de Bessel de segundo tipo (ver más abajo).

Integrales de Bessel

Se puede dar otra definición de la función de Bessel para valores enteros usando la representación integral: $\alfa$

J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }\!\cos(\alpha \tau -x\sin \ tau )\,d\tau .

Este enfoque fue utilizado por Bessel, quien lo utilizó para estudiar algunas propiedades de las funciones. También es posible otra representación integral:

J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(\alpha \tau -x\sen\tau )}\,d\tau .

Para encontrar la representación integral de la función de Bessel en el caso de las no enteras , es necesario tener en cuenta que existe un corte a lo largo del eje de abscisas. Esto se debe a que el integrando ya no es -periódico. Así, el contorno de integración se divide en 3 secciones: un rayo de a , donde , un círculo de radio unidad y un rayo de a en . Habiendo hecho transformaciones matemáticas simples, puede obtener la siguiente representación integral: $\alfa$ $2\pi$ $-\infty$ $una$ ${\ estilo de visualización \ phi = - \ pi}$ $una$ $+\infty$ ${\ estilo de visualización \ phi = \ pi}$

J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(xsen(\phi )-\alpha \phi )}d\phi -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {e^{ -{\frac {1}{2}}x(r-{\frac {1}{r))))}{{}r^{\alpha +1}}}dr.

Es fácil ver que para números enteros esta expresión pasa a la fórmula anterior. $\alfa$

Funciones de Neumann

Las funciones de Neumann son soluciones de la ecuación de Bessel, infinitas en el punto . $Y_{\alfa}(x)$ $x=0$

Esta función está relacionada con la siguiente relación: $J_{\alfa}(x)$

Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{{-\alpha }}(x)}{\sin(\alpha \pi )}},

donde en el caso de un número entero , se toma el límite de , que se calcula, por ejemplo, utilizando la regla de L'Hospital . $\alfa$ $\alfa$

Las funciones de Neumann también se denominan funciones de Bessel de segunda especie. La combinación lineal de las funciones de Bessel de primera y segunda especie es la solución completa de la ecuación de Bessel:

y(x)=C_{1}J_{\alpha }(x)+C_{2}Y_{\alpha }(x).

A continuación se muestra un gráfico para : $Y_{\alfa}(x)$ $\alfa =0,1,2$

En varios libros, las funciones de Neumann se denotan por . ${\ estilo de visualización N_ {\ alfa} (x)}$

Funciones esféricas de Bessel

Al resolver la ecuación de Helmholtz en coordenadas esféricas por el método de separación de variables, la ecuación para la parte radial tiene la forma

x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n (n+1)\derecha)y=0.

Dos soluciones linealmente independientes se llaman funciones esféricas de Bessel j n e y n , y están relacionadas con las funciones ordinarias de Bessel J n y Neumann Y n usando [2]

{\begin{alineado}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x) ,\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^ {n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{alineado}}

yn también se denota como nn o ηn ; algunos autores se refieren a estas funciones como funciones esféricas de Neumann .

Las funciones esféricas de Bessel también se pueden escribir como ( fórmula de Rayleigh ) [3]

{\begin{alineado}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\ derecha)^{n}{\frac {\sin x}{x)),\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x }}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{alineado}}

Algunas primeras funciones esféricas de Bessel [4] :

{\begin{alineado}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x)),\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x} {x^{2))}-{\frac {\cos x}{x)),\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2))} -1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left( {\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15} {x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}}\end{alineado}}

y Neumann [5] :

{\begin{alineado}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x)),\\y_{1}(x )&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2))}-{\frac {\sin x}{x)),\\y_{2}( x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}- {\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x ^{3))}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}} -1\right){\frac {\sin x}{x}}.\end{alineado}}

Generando funciones

Funciones generadoras de funciones esféricas de Bessel [6] :

{\begin{alineado}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0} ^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!)}}y_{n-1} (z).\end{alineado}}

Relaciones diferenciales

En las siguientes fórmulas , f n se puede reemplazar por j n , y n , h(1)
norte, h(2)
norte, donde h(1)
norteyh _(2)
norte son funciones esféricas de Hankel, para n = 0, ±1, ±2, ... [7] :

{\begin{alineado}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_ {n}(z)\right)&=z^{n-m+1}f_{nm}(z),\\\left({\frac {1}{z)){\frac {d}{ dz}}\right)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z)\right)&=(-1)^{m}z^{-nm}f_{n+m }(z).\end{alineado}}

Propiedades

Ortogonalidad

Sean los ceros de la función de Bessel . Entonces [1] : ${\ estilo de visualización \ mu _ {1}, \ mu _ {2}}$ ${\ Displaystyle J_ {\ alfa} (x)}$

\int _{0}^{1}{xJ_{\alpha }(\mu _{1}x)J_{\alpha }(\mu _{2}x)dx}=\left\{{ \begin{matriz}0&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}\neq \mu _{2}\\\\{\frac {1}{2}}(J'_{\alpha }(\mu _{1}))^{2}&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}=\mu _{2}\end{matriz}}\right.

Asintóticos

Se conocen fórmulas asintóticas para las funciones de Bessel de primer y segundo tipo . Con argumentos pequeños y no negativos , se ven así [8] : $(0<x\ll {\sqrt {\alpha +1)))$ $\alfa$

J_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)))\left({\frac {x}{2))\right)^{\alpha },

Y_{\alpha }(x)\rightarrow \left\{{\begin{matriz}{\frac {2}{\pi }}\left[\ln(x/2)+\gamma \right]&{\ mbox{;}}\quad \alpha =0\\\\-{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{ \alpha }&{\mbox{;}}\quad \alpha >0\end{matrix}}\right.

donde es la constante de Euler - Mascheroni (0,5772...), y es la función gamma de Euler . Para argumentos grandes ( ), las fórmulas se ven así: $\gama$ $\Gama$ $x\gg |\alfa ^{2}-1/4|$

J_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x))}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2))- {\frac {\pi }{4}}\derecha),

Y_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt ({\frac {2}{\pi x))))\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2))-{ \frac {\pi }{4}}\derecha).

El uso del siguiente término de la expansión asintótica permite refinar significativamente el resultado. Para una función de Bessel de orden cero, se ve así:

J_{0}\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x))}\cos(x-{\frac {\pi }{4)))+{\frac {1}{ 4x{\sqrt {2\pi x))))\sin(x-{\frac {\pi }{4)))).

Serie hipergeométrica

Las funciones de Bessel se pueden expresar en términos de la función hipergeométrica :

J_{\alpha }(z)={\frac {(z/2)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1))){}_{0}F_{1}(\alpha +1 ;-z^{2}/4).

Por lo tanto, para números enteros , la función de Bessel es analítica de un solo valor , y para números no enteros, es analítica de varios valores . $\alfa$

Función generadora

Existe una representación para las funciones de Bessel de primera especie y orden entero en términos de los coeficientes de la serie de Laurent de una función de cierto tipo, a saber

e^{{\frac {z}{2}}\left(w-{\frac {1}{w}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{+\ infinito }J_{n}(z)w^{n}.

Proporciones

Fórmula de Jacobi-Anger y relacionados

Obtenido de la expresión de la función generadora en , [9] : $un=1$ ${\displaystyle w=e^{i\phi ))$

e^{{iz\sin \phi }}=J_{0}(z)+2\sum _{{n=1}}^{\infty }J_{{2n}}(z)\cos(2n\ phi )+2i\sum _{{n=1}}^{\infty }J_{{2n-1}}(z)\sin(2n-1)\phi .

Para , [9] : $un=1$ $t=es decir^{{i\phi}}$

e^{{iz\cos \phi }}=J_{0}(z)+2\sum _{{n=1}}^{\infty}i^{n}J_{n}(z)\cos (n\fi).

Relaciones recurrentes

Hay una serie de relaciones de recurrencia para las funciones de Bessel. Éstos son algunos de ellos:

J_{\alpha +1}={\frac {\alpha }{x))J_{\alpha }-J'_{\alpha }(x);

J_{\alpha +1}(x)+J_{\alpha -1}(x)={\frac {2\alpha }{x}}J_{\alpha }(x);

J_{\alpha +1}(x)-J_{\alpha -1}(x)=-2J'_{\alpha }(x)

[10] .

Teorema de la suma

Para cualquier entero n y complejo , tenemos [11] $z_{1}$ $z_{2}$

J_{n}(z_{1}+z_{2})=\sum_{k=-\infty}}^{\infty}J_{k}(z_{1})J_{{nk}}( z_{2}).

Expresiones integrales

Para cualquier y (incluidos los complejos), [12] $a$ $b$

\int _{0}^{\infty }e^{{-at))J_{n}(bt){\mathrm d}t={\frac {b^{n}}{{\sqrt {a^ {2}+b^{2}}}({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a)^{n}}}.

Un caso especial de la última fórmula es la expresión

\int _{0}^{\infty}e^{{-at))J_{0}(bt){\mathrm d}t={\frac {1}{{\sqrt {a^{2}+ b^{2}}}}}.

Véase también

Notas

↑ 1 2 Zubov V. I. . Funciones de Bessel . - M .: MIPT, 2007. Copia archivada del 24 de junio de 2016 en Wayback Machine .
↑ Abramowitz y Stegun, pág. 437, 10.1.1 Archivado el 2 de septiembre de 2006 en Wayback Machine .
↑ Abramowitz y Stegun, pág. 439, 10.1.25, 10.1.26 Archivado el 21 de diciembre de 2009 en Wayback Machine .
↑ Abramowitz y Stegun, pág. 438, 10.1.11 Archivado el 30 de abril de 2009 en Wayback Machine .
↑ Abramowitz y Stegun, pág. 438, 10.1.12 Archivado el 30 de abril de 2009 en Wayback Machine .
↑ Abramowitz y Stegun, pág. 439, 10.1.39 Archivado el 21 de diciembre de 2009 en Wayback Machine .
↑ Abramowitz y Stegun, pág. 439, 10.1.23, 10.1.24 Archivado el 22 de diciembre de 2019 en Wayback Machine .
↑ Arfken G. B., Hans J. W. . Métodos matemáticos para físicos. 6ª ed. - San Diego: Harcourt, 2005. - ISBN 0-12-059876-0 .
↑ 1 2 Bateman, Erdeyi, 1974 , p. quince.
↑ Funciones de V. S. Gavrilov y otros Bessel en problemas de física matemática Archivado el 26 de noviembre de 2019 en Wayback Machine , página 7
↑ Lavrentiev, Shabat, 1973 , pág. 670.
↑ Lavrentiev, Shabat, 1973 , pág. 671.

Literatura

watson g Teoría de las funciones de Bessel. — M .: IL , 1949.
Bateman G., Erdeyi A. . Funciones de Bessel, funciones de cilindro parabólico, polinomios ortogonales // Funciones trascendentes superiores. T. 2. 2ª ed./ Per. De inglés. N. Ya. Vilenkina. — M .: Nauka , 1974. — 296 p.
Lavrentiev M. A., Shabat B. V. . Métodos de la teoría de funciones de variable compleja. — M .: Nauka , 1973. — 736 p.