Función de Busemann

La función de Busemann es un cierto tipo de función en un espacio métrico . En términos generales, la función de Busemann se puede considerar como "la distancia a un punto en el infinito".

Historia

Estas funciones fueron introducidas por Busemann en el estudio de las propiedades globales de los espacios métricos [1] . Más tarde, se utilizaron en la teoría de la probabilidad para estudiar filtraciones asintóticas [2] .

Definición

Sea un espacio métrico . Llamamos rayo a una curva que minimiza la distancia en todas partes a lo largo de su longitud, es decir, para todo en la parametrización natural, ${\ estilo de visualización (X, d)}$ $\gamma \colon [0,\infty )\to X$ $t,t'\in [0,\infty)$

{\displaystyle d{\big (}\gamma (t),\gamma (t'){\big )}={\big |}tt'{\big |))

La función de Busemann para el rayo γ, , se define como el límite $B_{\gamma }\colon X\to \mathbb {R}$

B_{\gamma }(x)=\lim _{t\to \infty }{\big (}d{\big (}\gamma (t),x{\big )}-t{\big )}

Notas

De la desigualdad triangular se sigue que $|d(\gamma (t),x)-t|\leq d(\gamma (0),x)$

para cualquier Al mismo tiempo, la función

x\en X

t\mapsto d(\gamma (t),x)-t

no creciente Por lo tanto, la función de Busemann siempre está definida para cualquier rayo .

\gama

Para grandes y fijos $t$ $X$ $d{\big (}\gamma (t),x{\big )}\approx t+B_{\gamma }(x).$

Propiedades

En el espacio de Lobachevsky , las líneas de nivel de las funciones de Busemann forman una horósfera .

Notas

↑ Buseman G. La geometría de las geodésicas. — 1962.
↑ Hoffmann, Christopher. "Coexistencia de modelos de crecimiento espacial competitivos de tipo Richardson". Los Anales de Probabilidad Aplicada 15.1B (2005): 739-747.