Función de Riemann (RFDF)

La función de Riemann es un ejemplo de una función de una variable real que es continua en el conjunto de números irracionales , pero discontinua en el conjunto de números racionales . Como tal, juega un papel importante en el análisis matemático [1] . Es una modificación de la función de Dirichlet . En las fuentes rusas, generalmente se la llama "función de Riemann" en honor a Bernhard Riemann , en la literatura inglesa esta función tiene muchos otros nombres: función de Thomae, función de palomitas de maíz, función de gota de lluvia, función de nube contable, Dirichlet modificado función, la función de regla [2] .

Definición

La función de Riemann se define para un argumento real de la siguiente manera. $R(x)$ $X$

Si es un número irracional , entonces la función es igual a cero. Si es un número racional representado como una fracción irreducible (donde ), entonces el valor de la función es igual a $X$
$X$ ${\frac{m}{n}}$ $n>0$ ${\frac{1}{n).$

En particular, . ${\ estilo de visualización R (0) = 1}$

Propiedades

La función es limitada: toma valores en el intervalo Es periódica con un período igual a 1: $R(x)$ ${\ estilo de visualización [0,1].}$ ${\ estilo de visualización f (x + 1) = f (x).}$

La función es continua en todo el conjunto de números irracionales, ya que el límite de la función en cada uno de esos puntos es igual a cero, pero es discontinua en todos los puntos racionales. Además, en cada punto racional, la función tiene un máximo local estricto [3] .

La función de Riemann no es diferenciable en ninguna parte , sin embargo, Riemann es integrable en cualquier intervalo. En este caso, la integral es cero en todas partes, ya que la función es cero en casi todas partes . Tenga en cuenta que la función de Dirichlet relacionada no es integrable de Riemann [4] .

Notas

↑ Shibinsky, 2007 , pág. 24
↑ Guillermo Dunham. La galería de cálculo . - Prensa de la Universidad de Princeton, 2005. - P. 149 . — ISBN 0-691-09565-5 .
↑ Shibinsky, 2007 , pág. 62-63.
↑ Shibinsky, 2007 , pág. 146-147.

Literatura

Shibinsky VM Ejemplos y contraejemplos en el curso del análisis matemático. Tutorial. - M. : Escuela Superior, 2007. - 543 p. - ISBN 978-5-06-005774-4 .

Enlaces

La función de Dirichlet modificada . Recuperado: 2 de mayo de 2019.
Weisstein, Eric W. Dirichlet Función (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .