Función de distribución

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La función de distribución en la teoría de la probabilidad es una función que caracteriza la distribución de una variable aleatoria o vector aleatorio; la probabilidad de que una variable aleatoria X tome un valor menor que x, donde x es un número real arbitrario. Bajo ciertas condiciones (ver abajo ), determina completamente la variable aleatoria.

Definición

Sea dado un espacio de probabilidad y una variable aleatoria con distribución definida en él . Entonces la función de distribución de una variable aleatoria se llama función dada por la fórmula: $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $X$ $\mathbb{P} ^{X}$ $X$ $F_{X}\dos puntos \mathbb {R} \to [0,1]$

F_{X}(x)=\mathbb {P} (X\leqslant x)\equiv \mathbb {P} ^{X}\left((-\infty,x]\right)

Es decir, la función de distribución (probabilidades) de una variable aleatoria se llama función cuyo valor en un punto es igual a la probabilidad de un evento , es decir, un evento que consta solo de aquellos resultados elementales para los cuales . $X$ $F(x)$ $X$ $\{X\leqslant x\}$ $X(\omega )\leqslant x$

Propiedades

$F_{X}$ continuo a la derecha [1] : $\lim\limits_{\varepsilon \to 0+} F_X(x+\varepsilon) = F_X(x)$
$F_{X}$ no decrece en toda la recta numérica.
$\lim \limits _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0$ .
$\lim \limits _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1$ .
La distribución de una variable aleatoria determina únicamente la función de distribución. $\mathbb{P} ^{X}$
- Lo contrario también es cierto: si una función satisface las cuatro propiedades enumeradas anteriormente, entonces hay un espacio de probabilidad y una variable aleatoria definida en él, de modo que es su función de distribución. $F(x)$ $F(x)$
Según la definición de continuidad por la derecha, una función tiene un límite por la derecha en cualquier punto y es igual al valor de la función en ese punto. $F_{X}$ $F_{X}(x+)$ $x\en \mathbb {R}$ $F_{X}(x)$
- En virtud de que no es decreciente, la función también tiene un límite izquierdo en cualquier punto , que puede no coincidir con el valor de la función. Así, la función es continua en un punto o tiene una
discontinuidad de primer tipo en él . $F_{X}$ $F_{X}(x-)$ $x\en \mathbb {R}$ $F_{X}$

Identidades

De las propiedades de probabilidad se sigue que , tal que : $\forall x\in \mathbb {R} ,\;\forall a,b\in \mathbb {R}$ $a<b$

$\mathbb {P} (X>x)=1-F_{X}(x)$ ;
$\mathbb {P} (X<x)=F_{X}(x-)$ ;
$\mathbb {P} (X\geqslant x)=1-F_{X}(x-)$ ;
$\mathbb {P} (X=x)=F_{X}(x)-F_{X}(x-)$ ;
$\mathbb {P} (a<X\leqslant b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)$ ;
$\mathbb {P} (a\leqslant X\leqslant b)=F_{X}(b)-F_{X}(a-)$ ;
$\mathbb {P} (a<X<b)=F_{X}(b-)-F_{X}(a)$ ;
$\mathbb {P} (a\leqslant X<b)=F_{X}(b-)-F_{X}(a-)$ ;

Distribuciones discretas

Si la variable aleatoria es discreta, es decir, su distribución está dada únicamente por la función de probabilidad $X$

\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i=1,2,\ldots

entonces la función de distribución de esta variable aleatoria es constante por tramos y se puede escribir como: $F_{X}$

F_{X}(x)=\sum \limits _{i\dos puntos x_{i}\leqslant x}p_{i}

Esta función es continua en todos los puntos tal que , y tiene una discontinuidad de primera clase en los puntos . $x\en \mathbb {R}$ $x\not =x_{i},\;\para todo i$ $x=x_{i},\;\para todo i$

Distribuciones continuas

Se dice que una distribución es continua si su función de distribución es tal . En este caso: $\mathbb{P} ^{X}$ $F_{X}$

\mathbb {P} (X=x)=0,\;\para todo x\en \mathbb {R}

F_{X}(x-0)=F_{X}(x),\;\para todas las x\en \mathbb {R}

y por lo tanto las fórmulas se ven como:

\mathbb {P} (X\en |a,b|)=F_{X}(b)-F_{X}(a)

donde significa cualquier intervalo, abierto o cerrado, finito o infinito. $|a,b|$

Distribuciones absolutamente continuas

Se dice que una distribución es absolutamente continua si existe una función no negativa en casi todas partes (con respecto a la medida de Lebesgue ) tal que: $\mathbb{P} ^{X}$ $f_{X}(x)$

F_{X}(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}\!f_{X}(t)\,dt

La función se llama densidad de distribución . Se sabe que la función de distribución absolutamente continua es continua y, además, si , entonces y $f_{X}$ $f_{X}\in C(\mathbb {R} )$ $F_{X}\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )$

{\frac {d}{dx}}F_{X}(x)=f_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R}

Variaciones y generalizaciones

A veces, en la literatura rusa, se toma tal definición de la función de distribución:

F_{X}(x)=\mathbb {P} (X<x)\equiv \mathbb {P} ^{X}\left((-\infty,x)\right)

La función de distribución así definida será continua por la izquierda, no por la derecha.

Funciones de distribución multivariante

Sea un espacio de probabilidad fijo y sea un vector aleatorio. Entonces la distribución , llamada distribución de un vector aleatorio o distribución conjunta de variables aleatorias , es una medida de probabilidad . La función de esta distribución viene dada por definición de la siguiente manera: $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots,X_{n})\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n))$ $\mathbb{P} ^{X}$ $X$ $X_{1},\ldots,X_{n}$ $\mathbb{R} ^{n}$ $F_{X}\dos puntos \mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$

F_{X}(x_{1},\ldots,x_{n})=\mathbb {P} (X_{1}\leqslant x_{1},\ldots,X_{n}\leqslant x_{n}) \equiv \mathbb {P} ^{X}\left(\prod \limits _{i=1}^{n}(-\infty,x_{i}]\right)

donde en este caso denota el producto cartesiano de conjuntos . $\pinchar$

Las propiedades de las funciones de distribución multidimensional son similares al caso unidimensional. También se conserva una correspondencia uno a uno entre las distribuciones en y las funciones de distribución multivariante. Sin embargo, las fórmulas para calcular probabilidades se vuelven mucho más complicadas y, por lo tanto, las funciones de distribución rara vez se usan para . $\mathbb{R} ^{n}$ $n>1$

Véase también

Densidad de probabilidad

Notas

↑ Shiryaev, A. N. Probabilidad. - M. : Nauka, 1980. - S. 45, 166.

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