Producto directo

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Un producto directo o cartesiano de dos conjuntos es un conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados posibles de elementos de los conjuntos originales.

El concepto de producto directo se generaliza naturalmente a un producto de conjuntos con una estructura adicional ( algebraica , topológica , etc.), ya que el producto de conjuntos a menudo hereda las estructuras que estaban presentes en los conjuntos originales.

Producto directo en teoría de conjuntos

El producto de dos conjuntos

El producto del conjunto {at, u, k} por el conjunto de colores del arcoíris

en	en	en	en	en	en	en	en
y	y	y	y	y	y	y	y
a	a	a	a	a	a	a	a

Sean dos conjuntos y se dan . El producto directo de un conjunto y un conjunto es un conjunto cuyos elementos son pares ordenados para todos los posibles y . Un par ordenado formado por los elementos y generalmente se escribe usando paréntesis: . El elemento se llama la primera coordenada (componente) del par , y el elemento se llama la segunda coordenada (componente) del par. $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X \veces Y$ $(x,y)$ $x\en X$ $y\en y$ $a$ $b$ $(a, b)$ $a$ $b$

El producto directo de dos conjuntos se puede visualizar como una tabla, cuyas filas definen los elementos del primer conjunto y las columnas, respectivamente, del segundo. Todas las celdas de esta tabla en este caso serán elementos del producto cartesiano.

La palabra "ordenado" significa que para , . Así, los pares y son iguales si y sólo si y . $x\ney$ ${\ estilo de visualización (x, y) \ neq (y, x)}$ $(a, b)$ ${\ estilo de visualización (c, d)}$ $a=c$ $b=d$

La importancia del "orden" se puede ilustrar con el ejemplo de la notación habitual de números: usando dos dígitos 3 y 5, puede escribir cuatro números de dos dígitos: 35, 53, 33 y 55. A pesar de que los números 35 y 53 se escriben usando los mismos números, estos números son diferentes. En el caso de que el orden de los elementos sea importante, en matemáticas se habla de conjuntos ordenados de elementos.

En un par ordenado , puede ser eso . Entonces, escribir los números 33 y 55 se puede considerar como pares ordenados (3; 3) y (5; 5). $(a, b)$ $a=b$

Las asignaciones del producto de conjuntos en sus factores -y- se denominan funciones de coordenadas . $\varphi\colon X\times Y\to X,\; \varphi(x,y)=x$ $\psi\colon X\times Y\to Y,\; \psi(x,y)=y$

El producto de una familia finita de conjuntos se define de manera similar.

Comentarios

Estrictamente hablando, la identidad de asociatividad no se cumple, pero debido a la existencia de una correspondencia uno a uno natural (biyección) entre conjuntos , esta diferencia a menudo puede despreciarse. $A \times (B \times C) = (A \times B) \times C$ $A \veces (B\veces C)$ $(A \veces B) \veces C$

Grado cartesiano

{0, 1, 2} 3 , 3 3 = 27 elementos
000	001	002	010	011	012	020	021	022
100	101	102	110	111	112	120	121	122
200	201	202	210	211	212	220	221	222

$norte$ La -ésima potencia cartesiana de un conjunto se define para enteros no negativos como el producto cartesiano -vez consigo mismo [1] : $X$ $norte$ $norte$ $X$

\begin{matriz} \underbrace{X\times X\times \ldots \times X}. \\ n \end{matriz}

Por lo general, se denota como o . $X^n$ $X^{\veces n}$

Cuando es positivo, el grado cartesiano consta de todos los conjuntos ordenados de elementos de longitud . Entonces, el espacio real , el conjunto de tuplas de tres números reales , es la tercera potencia del conjunto de números reales. $norte$ $X^n$ $X$ $norte$ $\mathbb{R} ^{3}$ $\mathbb{R}.$

Cuando , un grado cartesiano por definición, contiene un solo elemento: una tupla vacía. $n=0$ $X ^ 0,$

Producto directo de una familia de conjuntos

En general, para una familia arbitraria de conjuntos (no necesariamente diferentes) ( el conjunto de índices puede ser infinito ), el producto directo se define como el conjunto de funciones que asignan cada elemento a un elemento del conjunto : $\{X_i\}_{i\en I}$ $X = \prod_{i\in I} X_i$ $yo en yo$ $X_{yo}$

X=\prod_{i\in I}X_{i}=\{f\colon I\to \bigcup \limits_{i\in I}X_{i}\mid f(i)\in X_{i},i\en I\}.

Las asignaciones se denominan proyecciones y se definen de la siguiente manera: . $\pi_i \colon X \to X_i \colon f \mapsto f(i)$ $\pi_i\colon (a_1,\dots a_n) \mapsto a_i$

En particular, para una familia finita de conjuntos, cualquier función con una condición es equivalente a alguna tupla de longitud , compuesta por elementos de los conjuntos , de modo que el i -ésimo lugar de la tupla es el elemento del conjunto . Por lo tanto, el producto cartesiano (directo) de un número finito de conjuntos se puede escribir de la siguiente manera: $\{A_1, \puntos,A_n\}$ $f:\{1,\dots,n\} \to \bigcup\limits_{i = 1}^n A_i$ $f(i) \en A_i$ $norte$ $\{A_i\}_{i = 1}^n$ $i$ $Ai}$ $\{A_i\}_{i = 1}^n$

A_1 \times \dots \times A_n = \{(a_1, \dots ,a_n) \mid a_i \in A_i, i \in \{1, \dots ,n\}\}.

Producto directo de mapeos

Sea un mapeo de a , y sea un mapeo de a . Su producto directo es un mapeo de a : . $F$ $A$ $B$ $gramo$ $X$ $Y$ $f\veces g$ $A\veces X$ $B\veces Y$ $(f\veces g)(a,\;x) = (f(a),\;g(x))$

Similar a la anterior, esta definición se puede generalizar a múltiples e infinitos productos.

Efectos sobre las estructuras matemáticas

Producto directo de grupos

El producto directo (cartesiano) de dos grupos y es el grupo de todos los pares de elementos con la operación de multiplicación por componentes: . Este grupo se conoce como . La asociatividad de la operación de multiplicación en un grupo se sigue de la asociatividad de las operaciones de multiplicación de grupos. Los factores y son isomorfos a dos subgrupos normales de su producto, y respectivamente. La intersección de estos subgrupos consta de un elemento , que es la unidad del grupo de productos. Las funciones coordinadas del producto de grupos son homomorfismos . $(GRAMO*)$ $(H,\círculo)$ $(g,h)$ $(g_1,h_1)\times(g_2,h_2)=(g_1*g_2,h_1\circ h_2)$ $G\veces H$ $G\veces H$ $GRAMO$ $H$ $\{(g,1_H)\mid g\in G\}$ $\{(1_G,h)\mid h\in H\}$ $(1_G,1_H)$

Esta definición se extiende a un número arbitrario de grupos multiplicados. En el caso de un número finito, el producto directo es isomorfo a la suma directa. La diferencia surge en un número infinito de factores.

En general, , donde y . (La operación del lado derecho es la operación de grupo ). La unidad del grupo de productos será una secuencia compuesta por unidades de todos los grupos multiplicados: . Por ejemplo, para un número contable de grupos: , donde en el lado derecho está el conjunto de todas las secuencias binarias infinitas. $\overline{\prod_{i\in I}} G_i=\{f\colon I\to\bigcup_{i\in I} G_i\}$ $f(i)\isen G_i$ $(f_1\veces f_2)(i)=f_1(i)*f_2(i)$ $Soldado americano}$ $(1_i),\; yo en yo$ $\overline{\prod_{i\in\mathbb{N}}} \mathbb{Z}_2=(2^\mathbb{N},\; \operatorname{xor})$

Un subgrupo en el conjunto de todos cuyo apoyo (es decir, el conjunto ) es finito se llama suma directa . Por ejemplo, la suma directa del mismo conjunto de conjuntos contiene todas las secuencias binarias con un número finito de unos, y pueden tratarse como representaciones binarias de números naturales. $F$ $\mathrm{supp}\,(f) = \{i\in I\mid f(i)\ne 1_i\}$ $\prod_{i\in\mathbb{N}} \mathbb{Z}_2\ =\ (\mathbb{N},\; \operatorname{xor})$

El producto cartesiano de un sistema de grupo indexado es su producto directo en la categoría Grp.

La suma directa de un sistema de grupo indexado es su coproducto en la categoría Grp.

Producto directo de otras estructuras algebraicas

De manera similar al producto de grupos, se pueden definir los productos de anillos , álgebras , módulos y espacios lineales , y en la definición del producto directo (ver arriba) se debe reemplazar por cero . La definición de un producto de dos (o un número finito de) objetos es la misma que la de una suma directa . Sin embargo, en general, la suma directa difiere del producto directo: por ejemplo, el producto directo de un conjunto contable de copias es el espacio de todas las sucesiones de números reales , mientras que la suma directa es el espacio de aquellas sucesiones que tienen solo un número finito de miembros distintos de cero (las llamadas secuencias finitas ). $1_i$ $\matemáticas {R}$

Producto directo de espacios vectoriales

El producto cartesiano de dos espacios vectoriales y sobre un campo común es un conjunto de pares ordenados de vectores , es decir, un producto cartesiano de conjuntos de conjuntos de vectores de y , con linealidad dada en coordenadas: , . $U\veces V$ $tu$ $V$ $F$ ${\displaystyle \left\{(u,v)\mid u\in U\wedge v\in V\right\))$ $tu$ $V$ ${\ estilo de visualización (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)}$ $\mathrm {\alpha } \left(a,b\right)=\left(\mathrm {\alpha } a,\mathrm {\alpha } b\right)$

Esta definición se aplica a cualquier sistema indexado de espacios lineales (vectoriales): el producto cartesiano de un sistema indexado de espacios vectoriales sobre un campo común es el producto cartesiano teórico de conjuntos de conjuntos de vectores de factores, en los que se especifica la linealidad en coordenadas, es decir, al sumar se suman todas las proyecciones, al multiplicarse por un número se multiplican todas las proyecciones por este número: , . ${\displaystyle c=a+b\leftrightarrow \forall i:c_{i}=a_{i}+b_{i))$ ${\displaystyle b=\mathrm {\alpha } a\leftrightarrow \forall i:b_{i}=\mathrm {\alpha } a_{i))$

El producto cartesiano de un sistema indexado de espacios lineales es su producto directo en la categoría , donde existe un campo sujeto del sistema. ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Vec} _ {F}}$ $F$

La suma directa de espacios vectoriales es un subconjunto de su producto directo, cuyos elementos tienen solo un número finito de proyecciones distintas de cero , donde es el conjunto índice del sistema indexado . Para un número finito de términos, la suma directa no difiere del producto directo. $\coprod {A}=\left\{a\in \prod {A}\mid \left\vert \left\{i\in \operatorname {dom} A\mid a_{i}\neq 0\ derecha\}\derecha\vert <\aleph _{0}\derecha\}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {dom} A}$ $A$

La suma directa de un sistema indexado de espacios lineales es su coproducto en la categoría , donde hay un campo sujeto del sistema. ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Vec} _ {F}}$ $F$

Producto directo de espacios topológicos

Sean y sean dos espacios topológicos . La topología del producto cartesiano está dada en su producto teórico de conjuntos, como conjuntos sin estructura, por la base que consta de todos los productos posibles , donde es un subconjunto abierto y es un subconjunto abierto de . $X$ $Y$ $X\veces Y$ $U\veces V$ $tu$ $X$ $V$ $Y$

La definición se generaliza fácilmente al caso de un producto de varios espacios.

Para el producto de un conjunto infinito de factores, la definición se vuelve más complicada: sea un sistema indexado de espacios topológicos, un producto sin estructura de elementos como conjuntos. Definamos un cilindro erigido sobre como el conjunto de todos los puntos desde cuyas ‑ésimas proyecciones se encuentran en , es decir , donde y es el conjunto índice del sistema indexado . La topología del producto estará dada sobre una prebase de cilindros construida sobre todos los conjuntos abiertos de todas las topologías del conjunto : , donde está el conjunto de todos los conjuntos abiertos (topología) del espacio , es decir, estará dada por una base compuesta por todas las posibles intersecciones de un número finito de cilindros abiertos. Esta topología es inducida "contravariantemente" por los proyectores: es la topología mínima en el producto cartesiano de teoría de conjuntos para el cual todos los proyectores son continuos (tal topología es similar a la topología compacta-abierta de los espacios de mapeo si consideramos el índice establecido en tienen una topología discreta). $X$ $B=\prod {\sobrelínea {X}}$ $X$ $U\subseteq X_{i}$ $B$ $i$ $tu$ $\operatorname {Cyl} \left(i,\;U\right)=\left\{x\in B\mid x_{i}\in U\right\}$ $i\in \operatorname {dom} X$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {dom} X}$ $X$ $X$ $\left\{\operatorname {Cyl} \left(i,\;U\right)\mid i\in \operatorname {dom} X\land U\in \operatorname {T} \left(X_{i }\bien bien\}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {T} \ izquierda (X_ {i} \ derecha)}$ $X_{yo}$ $yo$

El producto cartesiano de un sistema indexado de espacios topológicos es su producto directo en la categoría . $\operatorname {Arriba}$

La suma directa de topologías se basa en la suma directa sin estructura de espacios como conjuntos de puntos. En él están abiertos todos los conjuntos cuyas intersecciones con todos los términos están abiertas. Esta topología es inducida "covariantemente" por los coproyectores: es la topología máxima en la suma directa teórica de conjuntos bajo la cual todos los coproyectores (es decir, incrustaciones de términos en la suma) son continuos.

La suma directa de un sistema indexado de espacios topológicos es su coproducto en la categoría . $\operatorname {Arriba}$

El teorema de Tikhonov afirma la compacidad de los productos de cualquier número de espacios compactos; sin embargo, para productos infinitos, no se puede probar sin usar el axioma de elección (o enunciados de la teoría de conjuntos equivalentes).

También el teorema de Aleksandrov muestra que cualquier espacio topológico se puede incrustar en un producto (infinito) de dos puntos conectados , siempre que se cumpla el axioma de Kolmogorov .

Producto directo de grafos

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		
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El conjunto de vértices del producto directo de dos gráficas y se define como el producto de los vértices de las gráficas factoriales. Los bordes conectarán los siguientes pares de vértices: $GRAMO$ $H$

$(g,\;h)(g',\;h)$ , donde y son los vértices del gráfico conectados por una arista , y es un vértice arbitrario del gráfico ; $gramo$ $gramo'$ $GRAMO$ $h$ $H$
$(g,\;h)(g,\;h')$ , donde es un vértice arbitrario del gráfico y y son los vértices del gráfico conectados por una arista . $gramo$ $GRAMO$ $h$ $h'$ $H$

En otras palabras, el conjunto de aristas de un producto de grafos es la unión de dos productos: las aristas de la primera a los vértices de la segunda, y los vértices de la primera a las aristas de la segunda.

Variaciones y generalizaciones

La idea de producto directo se desarrolló más en la teoría de categorías , donde sirvió de base para el concepto de producto de objetos . Informalmente, el producto de dos objetos y es el objeto más general de esta categoría para el que hay proyecciones sobre y . En muchas categorías (conjuntos, grupos, gráficos,...) el producto de los objetos es su producto directo. Es importante que en la mayoría de los casos no es tanto la definición concreta del producto directo lo importante, sino la propiedad de universalidad antes mencionada. Varias definiciones darán entonces objetos isomorfos . $A$ $B$ $A$ $B$