La naturaleza del residuo bicuadrático.

El carácter del residuo bicuadrático es una función teórica de números de dos argumentos, que es un caso especial del símbolo del residuo de potencia . También es un carácter en un campo simple .

El carácter del residuo bicuadrático es análogo al símbolo de Legendre , y para calcularlo se usa la ley de reciprocidad bicuadrática , que es análoga a la ley de reciprocidad cuadrática .

Definición

Considere D=Z[i] , el anillo de números enteros gaussianos , es decir, números de la forma , donde a y b son números enteros . ${\ estilo de visualización \ alfa = a + b \, i}$

Sea un primo en el anillo D , con norma . La naturaleza del residuo bicuadrático se define como sigue: $\Pi$ ${\ estilo de visualización N \ pi}$

$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}=0$ , si es divisible por . $\alfa$ $\Pi$
$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}=1$ , si no es divisible por y . $\alfa$ $\Pi$ ${\ estilo de visualización N \ pi = 2}$
En todos los demás casos , uno de los valores en la clase de residuo (dicho valor se determina de forma única). $\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}$ ${\ estilo de visualización \ {1, \ -1, \ yo, \ -i \))$ ${\ estilo de visualización \ alfa ^ {(N \ pi -1)/4} \ mod \ pi}$

Ley de reciprocidad bicuadrática

Llamamos , que no es una unidad, primario si es comparable con 1 módulo el ideal . Al mismo tiempo, una no unidad es primaria si y solo si , o , . $\alfa$ ${\ estilo de visualización ((1 + i) ^ {3})}$ ${\ estilo de visualización \ alfa = a + b \, i}$ $a\equiv 1{\pmod {4}}$ $b\equiv 0{\pmod {4}}$ $a\equiv 3{\pmod {4}}$ $b\equiv 2{\pmod {4}}$

Sean y elementos primarios coprimos en D , entonces $\Pi$ $\ theta$

$\left({\frac {\pi }{\theta }}\right)_{4}=\left({\frac {\theta }{\pi }}\right)_{4}(- 1)^{{\frac {N\pi -1}{4}}{\frac {N\theta -1}{4}}}$

Otras propiedades del carácter del residuo bicuadrático

$\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}=1$ si y solo si la comparación se puede resolver, es decir, si y solo si - residuo bicuadrático $x^{4}\equiv \alpha \mod {\pi }$ $\alfa$
Multiplicatividad : $\left({\frac {\alpha \beta }{\pi }}\right)_{4}=\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4} \cdot \left({\frac {\beta }{\pi }}\right)_{4}$
Periodicidad : si , entonces ${\displaystyle \alpha \equiv \beta \mod {\pi ))$ $\left({\frac {\alpha }{\pi }}\right)_{4}=\left({\frac {\beta }{\pi }}\right)_{4}$
Si es un primario simple, entonces ${\ estilo de visualización \ pi = a + bi}$ $\left({\frac {-1}{\pi }}\right)_{4}=(-1)^{\frac {a-1}{2}}$

Referencias

Ireland K., Rosen M. Una introducción clásica a la teoría de números moderna . - Moscú: Mir, 1987.

Franz Lemmermeyer. Leyes de reciprocidad: De Euler a Eisenstein. - Springer Verlag, 2000. - ISBN 3-540-66957-4 .

Caracteres en la teoría de números y en la teoría de grupos
Caracteres cuadráticos	Símbolo de Legendre símbolo de jacobi Símbolo de Kronecker - Jacobi
Personajes de Power Residuos	La naturaleza del residuo cúbico. La naturaleza del residuo bicuadrático. Símbolo de residuo de energía