Entero

Los números enteros son una extensión del conjunto de números naturales [1] que se obtienen al sumarle cero y números negativos [2] . La necesidad de considerar números enteros está dictada por la imposibilidad en el caso general de restar otro número natural de uno: solo puede restar un número más pequeño de uno más grande. La introducción de cero y números negativos hace que la resta sea la misma operación completa que la suma [3] .

Un número real es un número entero si su representación decimal no contiene una parte fraccionaria (pero puede contener un signo). Ejemplos de números reales:

Números 142857; 0; −273 son números enteros. Números 5½; 9.75 no son números enteros.

Se denota el conjunto de números enteros (del alemán Zahlen - "números" [4] ). El estudio de las propiedades de los números enteros es la rama de las matemáticas llamada teoría de números . $\matemáticas {Z}$

Números positivos y negativos

Según su construcción, el conjunto de los números enteros consta de tres partes:

Números naturales (o, de manera equivalente, enteros positivos). Surgen de forma natural al contar (1, 2, 3, 4, 5…) [5] .
Cero es el número denotado por . Su propiedad definitoria: para cualquier número . ${\ estilo de visualización 0}$ ${\ estilo de visualización 0 + n = n + 0 = n}$ $norte$
Números enteros negativos .

Al escribir números negativos, se marcan al frente con un signo menos : para cada número entero, también hay un número único opuesto a él, denotado y que tiene la propiedad de que si es positivo, entonces su opuesto es negativo, y viceversa. El cero es opuesto a sí mismo [2] . $-1,-2,-3\puntos$ $a$ $-a$ ${\ estilo de visualización a+(-a)=0.}$ $a$

El valor absoluto de un entero se llama este número con signo descartado [6] . Designacion: $a$ ${\ estilo de visualización \ izquierda | una \ derecha |.}$

Ejemplos:

\left|4\right|=4;\ \left|-5\right|=5;\ \left|0\right|=0

Propiedades algebraicas

En el conjunto de los números enteros se definen tres operaciones aritméticas básicas: la suma , el inverso de la suma, la resta y la multiplicación . También hay una operación importante específica de los números naturales y enteros: la división con resto . Finalmente, se define un orden para los números enteros , que permite comparar números entre sí.

Suma y resta

La siguiente tabla ilustra las propiedades básicas de la suma [7] para cualquier número entero : $a B C$

Propiedad	notación algebraica
Conmutatividad ( portabilidad )	$a+b=b+a$
Asociatividad ( Compatibilidad )	$a+\left(b+c\right)=\left(a+b\right)+c$
propiedad cero	${\ estilo de visualización a+0=a}$
Propiedad del elemento opuesto	$a+\left(-a\right)=0$

Al sumar y restar números enteros, se siguen las siguientes reglas de signos [7] [8] , que deben tenerse en cuenta al abrir corchetes:

-\left(-a\right)=a;\ -\left(a+b\right)=-ab;\ -\left(ab\right)=-a+b.

Reglas para sumar números enteros [9] .

Al sumar números enteros con el mismo signo, debe sumar sus valores absolutos y asignarle el signo de los términos. Ejemplo; . ${\ estilo de visualización -14 + \ izquierda (-28 \ derecha) = -42}$
Al sumar números enteros con diferentes signos, es necesario comparar sus valores absolutos, restar el menor del mayor y asignar al resultado el signo del sumando con el valor absoluto mayor. Ejemplos: . $-4+9=9-4=5;\ -9+4=-\left(9-4\right)=-5$
La resta de números enteros siempre es factible y el resultado se puede encontrar como Ejemplo: . $abdominales$ $a+\izquierda(-b\derecha).$ ${\ estilo de visualización 26-51 = 26 + \ izquierda (-51 \ derecha) = -25}$
Geométricamente, la suma se puede visualizar como un desplazamiento de un número a lo largo del eje numérico (ver la figura al principio del artículo), y la suma de un número positivo provoca un desplazamiento hacia la derecha y un número negativo hacia la izquierda. Por ejemplo, para un número, sumarlo significa desplazarlo a la derecha en 4 unidades; ver claramente lo que sucede . De manera similar , al desplazarnos hacia la izquierda en 4 unidades, obtenemos como resultado . $-3$ $cuatro$ $+1$ $-3+\izquierda(-4\derecha)$ $-3$ ${\ estilo de visualización -7}$
La resta se puede visualizar de manera similar, pero en este caso, por el contrario, la resta de un número positivo provoca un desplazamiento hacia la izquierda y un número negativo hacia la derecha. Por ejemplo, desplaza 7 unidades al número , y lo desplaza hacia la derecha al número . ${\ estilo de visualización 5-7}$ $5$ $-2$ ${\ estilo de visualización 5-\ izquierda (-7 \ derecha)}$ $12$

Multiplicación y exponenciación

La multiplicación de números se denota además o (solo en el caso de las notaciones de letras) simplemente . La siguiente tabla ilustra las propiedades básicas de la multiplicación [7] para cualquier número entero : $a,b$ ${\ estilo de visualización a \ veces b}$ $abdominales$ $a B C$

Propiedad	notación algebraica
Conmutatividad ( portabilidad )	$a\times b=b\times a$
Asociatividad ( Compatibilidad )	$a\times \left(b\times c\right)=\left(a\times b\right)\times c$
unidad de propiedad	$a\times 1=a$
propiedad cero	${\ estilo de visualización \ veces 0 = 0}$
Distributividad (distributividad) de la multiplicación con respecto a la suma	$a\times \left(b+c\right)=a\times b+a\times c$

Al multiplicar números enteros, se siguen las reglas de los signos [7] [8] , que deben tenerse en cuenta al abrir corchetes:

\left(-a\right)b=a\left(-b\right)=-ab;\ \left(-a\right)\left(-b\right)=ab

Consecuencia : el producto de números con el mismo signo es positivo, con diferente signo es negativo.

Elevar números enteros a una potencia natural se define de la misma forma que para los números naturales:

{\displaystyle a^{n}=\underbrace {a\cdot a\cdot \ldots \cdot a} _{n))

Las propiedades de elevar números enteros a una potencia también son las mismas que las de los números naturales:

\left(ab\right)^{n}=a^{n}b^{n};\quad a^{m}a^{n}=a^{m+n};\quad \ izquierda(a^{m}\derecha)^{n}=a^{mn}

Además de esta definición, se adopta una convención de grado cero: para cualquier número entero . $un^{0}=1$ $una.$ $a^{0}a^{n}=a^{0+n}=a^{n},$ ${\ estilo de visualización a^{0}=1.}$

Orden

$\matemáticas {Z}$ es un conjunto linealmente ordenado . El orden en él está dado por las relaciones:

\puntos -2<-1<0<1<2<\puntos

Un entero es positivo si es mayor que cero, negativo si es menor que cero. Los enteros positivos son números naturales y sólo ellos. Los números negativos son lo opuesto a los números positivos. El cero no es ni positivo ni negativo. Cualquier número negativo es menor que cualquier número positivo [2] .

Para cualquier número entero , las siguientes relaciones son válidas [10] . $a B C D$

Si , entonces para cualquiera será . $a<b$ $C$ ${\ estilo de visualización a+c<b+c}$
Si y , entonces . $a<b$ ${\ estilo de visualización c <d}$ ${\ estilo de visualización a+c<b+d}$
Si y , entonces . $a<b$ $c>0$ $ac<bc$
Si y , entonces . $a<b$ ${\ estilo de visualización c <0}$ $ac>bc$

Para comparar dos números negativos, hay una regla: más es el número cuyo valor absoluto es menor [10] . Por ejemplo, . ${\ estilo de visualización -6 <-5}$

Divisibilidad

División con resto

La operación de división generalmente no está definida en el conjunto de números enteros. Por ejemplo, no se puede dividir por : no existe tal número entero que, multiplicado por , dé como resultado . Pero puedes definir la llamada división con un resto [11] : $3$ $2$ $2$ $3$

Para cualquier entero (donde ) hay un conjunto único de enteros tal que , donde

a,b

b\neq 0

{\ estilo de visualización q, r}

a = bq + r

0\leqslant r<\izquierda|b\derecha|.

Aquí a es el dividendo , b es el divisor , q es el cociente (incompleto), r es el resto de la división (siempre no negativo). Si el resto es cero, se dice que la división es un número entero [11] .

Ejemplos

Al dividir con resto de un número positivo entre , obtenemos un cociente incompleto y un resto . Examen: $un=78$ $b=33$ $q=2$ $r=12$ $78=33\times 2+12.$
Al dividir con resto de un número negativo entre , obtenemos un cociente incompleto y un resto . Examen: $a=-78$ $b=33$ $q=-3$ $r=21$ ${\ estilo de visualización -78 = 33 \ veces (-3) + 21.}$
Al dividir con resto de un número entre, obtenemos el cociente y el resto , es decir, la división se realiza por enteros. Para saber rápidamente si un número dado es divisible por un número (pequeño) , existen pruebas de divisibilidad . $un=78$ $b=26$ $q=3$ $r=0$ $a$ $b$

La teoría de las comparaciones y el algoritmo de Euclides se basan en la operación de división con resto .

División entera. Divisores

Como se definió anteriormente, un número es divisible (entero) por un número si existe un entero tal que . Notación simbólica: . Hay varias formulaciones verbales equivalentes de esta divisibilidad [12] : $a$ $b$ $q$ ${\ estilo de visualización a = bq}$ ${\ estilo de visualización b | un}$

$a$ es divisible (entero) por . $b$
$b$ es un divisor (o: divide ). $a$ $b$ $a$
$a$ múltiple _ $b$

Todo número entero distinto de cero o tiene 4 divisores triviales : . Si no hay otros divisores, el número se llama primo [13] . $norte$ $\pm 1$ ${\ estilo de visualización 1,-1,n,-n}$

El concepto del máximo común divisor de dos números enteros, la descomposición de un número entero en factores primos y el principal teorema de la aritmética para los números enteros prácticamente coinciden (con posible consideración del signo) con los análogos de estos conceptos para los números naturales [14] .

Enteros y números reales

Hay problemas prácticos en los que es necesario redondear un valor real a un número entero, es decir, sustituirlo por el número entero más próximo (en un sentido o en otro). Dado que el redondeo se puede hacer de muchas maneras, los " símbolos de Iverson " [15] se pueden usar para aclarar :

\lpiso x\rpiso

- más cercano al entero abajo (función "piso", piso inglés , o " parte entera "). La notación gaussiana o la notación de Legendre también se utilizan tradicionalmente .

X

[X]

{\ estilo de visualización E \ izquierda (x \ derecha)}

\lceil x\lceil

- más cercano al entero en la dirección mayor (función "techo", techo inglés ).

X

Dependiendo de los detalles del enunciado del problema, también se pueden encontrar otros métodos: redondear al entero más cercano o cortar la parte fraccionaria (la última opción para los negativos difiere de la función de "parte entera"). $X$

Otra clase de problemas que relacionan números enteros y números reales es la aproximación de un número real por una razón de números enteros, es decir, un número racional . Está probado que cualquier número real puede ser aproximado racionalmente con cualquier precisión deseada, la mejor herramienta para tal aproximación son las fracciones continuas [16] .

Historia

El desarrollo de las matemáticas comenzó con habilidades prácticas de conteo (uno, dos, tres, cuatro…), por lo tanto, los números naturales surgieron en la época prehistórica como una idealización de un conjunto finito de objetos homogéneos, estables e indivisibles (personas, ovejas, días, etc). La suma aparecía como modelo matemático de hechos tan importantes como la unión de varios conjuntos (rebaños, bolsas, etc.) en uno, y la resta reflejaba, por el contrario, la separación de una parte del conjunto. La multiplicación de los números naturales apareció como, por así decirlo, una suma por lotes: 3 × 4 significaba la suma " 3 por 4", es decir, 4 + 4 + 4 . Las propiedades y la interconexión de las operaciones fueron descubiertas gradualmente [17] [18] .

El paso inicial hacia la expansión de los números naturales fue la aparición del cero; los primeros en usar este símbolo, al parecer, fueron los matemáticos indios . Inicialmente, el cero no se usaba como un número, sino como un dígito en la notación posicional de los números, luego, gradualmente, comenzó a reconocerse como un número completo, que denota la ausencia de algo (por ejemplo, la ruina total de un comerciante). ) [19] .

Los números negativos se utilizaron por primera vez en la antigua China y en la India, donde se los consideraba una imagen matemática de la "deuda". El Antiguo Egipto , Babilonia y la Antigua Grecia no usaban números negativos, y si se obtenían raíces negativas de las ecuaciones (cuando se restaban), se rechazaban como imposibles. La excepción fue Diofanto , que en el siglo III ya conocía la "regla de los signos" y sabía multiplicar números negativos. Sin embargo, los consideró solo como una etapa intermedia, útil para calcular el resultado final positivo. La utilidad y legalidad de los números negativos se establecieron gradualmente. El matemático indio Brahmagupta (siglo VII) ya los consideraba a la par de los positivos [20] .

En Europa, el reconocimiento llegó mil años después, e incluso entonces, durante mucho tiempo, los números negativos fueron llamados "falsos", "imaginarios" o "absurdos". La primera descripción de ellos en la literatura europea apareció en el Libro del ábaco de Leonardo de Pisa (1202), quien también trató los números negativos como deuda. Bombelli y Girard en sus escritos consideraban que los números negativos eran bastante aceptables y útiles, en particular, para indicar la falta de algo. Los números negativos fueron utilizados libremente por Nicola Schücke (1484) y Michael Stiefel (1544) [20] .

En el siglo XVII, con el advenimiento de la geometría analítica , los números negativos recibieron una representación geométrica visual en la recta numérica . A partir de este momento viene su completa igualdad. La legalización de los números negativos ha dado lugar a numerosas comodidades; por ejemplo, la transferencia de los términos de una ecuación a otra parte de ella se ha hecho posible independientemente del signo de este término (antes, digamos, las ecuaciones se consideraban fundamentalmente diferentes) [21] . $x^{3}+ax=b$ $x^{3}=ax+b$

Sin embargo, la teoría de los números negativos estuvo en pañales durante mucho tiempo. Pascal , por ejemplo, creía que ya que "nada puede ser menos que nada" [22] . Se discutió animadamente una proporción extraña : en ella, el primer término a la izquierda es mayor que el segundo, y a la derecha, viceversa, y resulta que el más grande es igual al más pequeño (" la paradoja de Arno "). Wallis creía que los números negativos son menores que cero, pero al mismo tiempo mayores que infinito [23] . Tampoco estaba claro qué significado tiene la multiplicación de números negativos y por qué el producto de números negativos es positivo; hubo discusiones acaloradas sobre este tema. Un eco de aquellos tiempos es el hecho de que en la aritmética moderna la operación de resta y el signo de los números negativos se denotan con el mismo símbolo ( menos ), aunque algebraicamente se trata de conceptos completamente diferentes. Gauss en 1831 consideró necesario aclarar que los números negativos tienen fundamentalmente los mismos derechos que los positivos, y el hecho de que no se apliquen a todas las cosas no significa nada, porque las fracciones tampoco se aplican a todas las cosas (por ejemplo, no son aplicables al contar personas) [24] . $0-4=0$ ${\ estilo de visualización 1: \ izquierda (-1 \ derecha) = \ izquierda (-1 \ derecha): 1}$

Una teoría completa y bastante rigurosa de los números negativos fue creada recién en el siglo XIX ( William Hamilton y Hermann Günter Grassmann ) [25] .

Aplicación

En ciencias aplicadas

Los números enteros se utilizan mucho en el estudio de objetos que son indivisibles por su naturaleza o por las peculiaridades del planteamiento del problema (por ejemplo, personas, barcos, edificios, a veces días, etc.). Los números negativos también se pueden usar en dichos modelos; por ejemplo, al planificar transacciones de ventas, puede indicar las ventas con números positivos y las compras con números negativos. Un ejemplo de la física son los números cuánticos , que juegan un papel fundamental en el microcosmos; son todos enteros con signo (o semienteros ) [26] .

Para resolver los problemas que surgen en este caso, se han desarrollado métodos matemáticos especiales que tienen en cuenta las características específicas de los problemas. En particular, la solución en números enteros de ecuaciones algebraicas (de diferentes grados) es considerada por la teoría de las " ecuaciones diofánticas " [27] . Los problemas de optimización de enteros se investigan mediante la programación de enteros [28] .

En informática

El tipo entero es a menudo uno de los principales tipos de datos en los lenguajes de programación . Los tipos de datos enteros generalmente se implementan como un conjunto fijo de bits , uno de los cuales codifica el signo de un número, mientras que los otros codifican dígitos binarios. Las computadoras modernas tienen un rico conjunto de instrucciones para la aritmética de enteros [29] .

Lugar en álgebra general

Desde el punto de vista del álgebra general , con respecto a la suma y la multiplicación es un anillo conmutativo infinito con unidad, sin divisores de cero ( dominio de integridad ). El anillo de enteros es euclidiano (y por lo tanto factorial ) y noetheriano , pero no artiniano . Si expandes este anillo agregándole todo tipo de fracciones (ver el campo de cocientes ), obtienes el campo de números racionales ( ); cualquier división ya es factible en él, excepto la división por cero [30] [31] . $\matemáticas {Z}$ $\matemáticas {Q}$

Con respecto a la operación de suma, es un grupo abeliano , y por lo tanto también un grupo cíclico , ya que todo elemento distinto de cero puede escribirse como una suma finita 1 + 1 + ... + 1 o (−1) + (−1 ) + ... + (−1 ) . De hecho, es el único grupo cíclico infinito por adición, ya que todo grupo cíclico infinito es isomorfo al grupo . Con respecto a la multiplicación , no forma grupo, ya que en el conjunto de los enteros la división, en general, es imposible [30] . $\matemáticas {Z}$ $\matemáticas {Z}$ $\matemáticas {Z}$ $(\matemáticas{Z},+)$ $\matemáticas {Z}$

El conjunto de los enteros con el orden habitual es un anillo ordenado , pero no está bien ordenado , ya que, por ejemplo, no existe el menor entre los números negativos. Sin embargo, se puede ordenar bastante definiendo una relación no estándar "menor o igual que" [32] , que denotamos y definimos de la siguiente manera: $\preccurlyeq$

a\preccurlyeq b,

si o o o y

a=b,

{\ estilo de visualización |a|<|b|,}

{\ estilo de visualización |a|=|b|}

a<0<b.

Entonces el orden de los números enteros será: En particular, será el número negativo más pequeño. con el nuevo orden será un conjunto bien ordenado, pero ya no será un anillo ordenado, ya que este orden no es consistente con las operaciones del anillo: por ejemplo, desde , sumando 1 a la izquierda y a la derecha, obtenemos la desigualdad incorrecta $0\preccurlyeq -1\preccurlyeq 1\preccurlyeq -2\preccurlyeq 2\puntos$ $-una$ $\matemáticas {Z}$ ${\ estilo de visualización 1 \ preccurlyeq -2}$ ${\ estilo de visualización 2 \ preccurlyeq -1.}$

Cualquier anillo ordenado con identidad y sin divisores de cero contiene uno y solo un subanillo isomorfo [33] . $\matemáticas {Z}$

Fundamentos lógicos

La extensión de los números naturales a enteros, como cualquier otra extensión de la estructura algebraica, plantea muchas cuestiones, siendo las principales cómo definir operaciones sobre un nuevo tipo de números (por ejemplo, cómo definir la multiplicación de números negativos), qué propiedades tendrán entonces, y (la pregunta principal) si tal expansión es admisible, si no conducirá a contradicciones inamovibles. Para analizar tales preguntas, es necesario formar un conjunto de axiomas para números enteros.

Axiomática de números enteros

La forma más fácil de determinar la axiomática del conjunto de números enteros es confiar en el conjunto de números naturales ya construido (que se supone que es consistente y se conocen sus propiedades). Es decir, lo definimos como el anillo mínimo que contiene el conjunto de los números naturales. Más estrictamente, los axiomas de los números enteros son los siguientes [34] [35] . $\matemáticas {Z}$ $\matemáticas {N}$ $\matemáticas {Z}$

Z1 : Para cualquier número entero se define su suma .

a,b

a+b

Z2 : La suma es conmutativa : . Por brevedad, la cláusula "para todos " generalmente se omite más.

a+b=b+a

{\ estilo de visualización a, b \ puntos}

Z3 : La suma es asociativa :

\left(a+b\right)+c=a+\left(b+c\right).

Z4 : Existe un elemento 0 (cero) tal que .

{\ estilo de visualización a+0=a}

Z5 : Para todo número entero hay un elemento opuesto tal que

a

-a

a+\left(-a\right)=0.

Z6 : Para cualquier número entero se define su producto .

a,b

abdominales

Z7 : La multiplicación es asociativa :

\left(ab\right)c=a\left(bc\right).

Z8 : La multiplicación está relacionada con la suma por leyes distributivas (distributivas):

\left(a+b\right)c=ac+bc;\ c\left(a+b\right)=ca+cb.

Z9 : El conjunto de los números enteros contiene un subconjunto isomorfo al conjunto de los números naturales . Para simplificar, este subconjunto se denota con la misma letra a continuación .

\matemáticas {Z}

\matemáticas {N}

\matemáticas {N}

Z10 ( axioma de minimalidad ): Sea un subconjunto de , incluyendo y tal que la operación de resta no lleva más allá de . Entonces coincide con todo .

METRO

\matemáticas {Z}

\matemáticas {N}

METRO

METRO

\matemáticas {Z}

Todas las demás propiedades de los números enteros se derivan como corolarios de estos axiomas, incluida la conmutatividad de la multiplicación, el orden, las reglas para la división por números enteros y la división con resto [36] . Mostremos, por ejemplo, cómo se introduce el orden de los números enteros . Diremos que si hay un número natural. Los axiomas de orden se verifican fácilmente. Inmediatamente se sigue de la definición que todos los números naturales son mayores que cero ( positivos ), y todos sus opuestos son menores que cero ( negativos ). Para los números naturales, el nuevo orden coincide con el antiguo [37] . $a<b$ $licenciado en Letras$

La axiomática dada de los números enteros es categórica , es decir, cualquiera de sus modelos son isomorfos como anillos [38] .

Consistencia

La forma estándar de probar la consistencia de una nueva estructura es modelar ( interpretar ) sus axiomas utilizando objetos de otra estructura, cuya consistencia está fuera de toda duda. En nuestro caso, debemos implementar estos axiomas sobre la base de pares de números naturales [39] .

Considere todos los posibles pares ordenados de números naturales . Para aclarar el significado de las siguientes definiciones, explicamos de inmediato que tenemos la intención de considerar cada par como un número entero , por ejemplo, pares o representarán una unidad, y pares o representarán ${\ estilo de visualización \ izquierda (a, b \ derecha)}$ ${\ estilo de visualización ab,}$ ${\ estilo de visualización \ izquierda (3,2 \ derecha)}$ ${\ estilo de visualización \ izquierda (6,5 \ derecha)}$ ${\ estilo de visualización \ izquierda (1,4 \ derecha)}$ ${\ estilo de visualización \ izquierda (8,11 \ derecha)}$ ${\ estilo de visualización -3.}$

A continuación, defina [40] :

Los pares y se consideran iguales si . Esto se debe a que, como se muestra en los ejemplos, cualquier número entero se puede representar mediante un número infinito de pares. ${\ estilo de visualización \ izquierda (a, b \ derecha)}$ ${\ estilo de visualización \ izquierda (c, d \ derecha)}$ ${\ estilo de visualización a + d = b + c}$
Adición : la suma de pares y se define como un par . ${\ estilo de visualización \ izquierda (a, b \ derecha)}$ ${\ estilo de visualización \ izquierda (c, d \ derecha)}$ ${\ estilo de visualización \ izquierda (a + c, b + d \ derecha)}$
Multiplicación : El producto de pares y se define como un par . ${\ estilo de visualización \ izquierda (a, b \ derecha)}$ ${\ estilo de visualización \ izquierda (c, d \ derecha)}$ $\left(ac+bd,ad+bc\right)$

Es fácil comprobar que los resultados de la suma y la multiplicación no cambian si reemplazamos cualquier par por uno igual, es decir, el nuevo par resultante será igual al anterior (en el sentido de igualdad indicado por la Definición 1) . También es fácil verificar que la estructura de pares descrita satisface toda la lista de axiomas de números enteros. Los números positivos se modelan mediante pares , donde , cero representan pares de la forma y los pares con corresponden a números negativos [40] . ${\ estilo de visualización \ izquierda (a, b \ derecha)}$ $a>b$ ${\ estilo de visualización \ izquierda (a, a \ derecha)}$ ${\ estilo de visualización \ izquierda (a, b \ derecha)}$ $a<b$

Este modelo permite aclarar cómo los axiomas de los números enteros implican únicamente sus propiedades; mostremos esto para la "regla de los signos". Por ejemplo, al multiplicar dos "números negativos" y , para los cuales , por definición obtenemos un par . La diferencia es que este número es positivo, por lo que el par-producto representa un entero positivo, por lo tanto, el producto de números negativos es positivo. Cualquier otra regla (por ejemplo, "el producto de números negativos es negativo") haría que la teoría de los números enteros fuera inconsistente. ${\ estilo de visualización \ izquierda (a, b \ derecha)}$ ${\ estilo de visualización \ izquierda (c, d \ derecha)}$ ${\ estilo de visualización a <b, \ c <d}$ $\left(ac+bd,ad+bc\right)$ $ac+bd-\left(ad+bc\right)$ $\left(ba\right)\left(dc\right)$

El modelo descrito prueba que la axiomática dada de los números enteros es consistente. Porque si hubiera una contradicción en él, entonces esto significaría una contradicción en la aritmética básica de los números naturales para este modelo, que asumimos de antemano como consistente [39] .

Cardinalidad del conjunto

El conjunto de los enteros es infinito. Aunque los números naturales son solo un subconjunto del conjunto de los enteros, hay tantos enteros como números naturales, en el sentido de que la cardinalidad del conjunto de los enteros es la misma que la de los conjuntos de los naturales, ambos son contables [41] .

Variaciones y generalizaciones

Algunas estructuras algebraicas son similares en propiedades al anillo de los números enteros . Entre ellos: $\matemáticas {Z}$

enteros gaussianos . Estos son números complejos , donde son números enteros. Para los números gaussianos, al igual que para los enteros ordinarios, se pueden definir los conceptos de divisores , número primo y módulo . Un análogo del teorema principal de la aritmética es válido [42] . $a+bi$ $a,b$
Enteros de Eisenstein [43] .

Notas

↑ Esto se refiere a la comprensión más antigua de los números naturales con el primer elemento uno: $1,2,3,4,5\puntos$
↑ 1 2 3 Manual de matemáticas elementales, 1978 , p. 111-113.
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↑ Matemáticas elementales, 1976 , p. Dieciocho.
↑ Manual de matemáticas elementales, 1978 , p. 114.
↑ 1 2 3 4 Matemáticas elementales, 1976 , p. 24-28.
↑ 1 2 Matemáticas elementales desde un punto de vista superior, 1987 , p. 39.
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Sistemas numéricos
Conjuntos contables	Números naturales ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Enteros ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Racional ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ algebraico ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Períodos Calculable Aritmética
Números reales y sus extensiones.	reales ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Complejo ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Cuaterniones ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Números de Cayley (octavas, octoniones) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedeniones ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alterniones Doble Hipercomplejo superrealista hipermaterial surrealista
Herramientas de extensión numérica	procedimiento de Cayley-Dixon teorema de frobenius teorema de Hurwitz
Otros sistemas numéricos	Numeros cardinales Números ordinales (transfinitos, ordinales) p-ádico Números sobrenaturales números de intervalo
ver también	números dobles Numeros irracionales numeros trascendentales haz de números bicuaternión

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En catálogos bibliográficos	TIERRA : 4134668-3 NDL : 00570428 NKC : ph135364