La naturaleza de la representación del grupo.

La naturaleza de la representación del grupo es una función sobre el grupo que devuelve la traza (la suma de los elementos de la diagonal) de la matriz correspondiente al elemento dado en la representación [1] [2] .

Por lo general, se indica con la letra [3] .

La teoría de los personajes se ocupa del estudio de las representaciones a través de sus personajes .

Definición

Si es una representación de dimensión finita del grupo , entonces la naturaleza de esta representación es una función del conjunto de números complejos, dada por la traza de una transformación lineal correspondiente al elemento . En términos generales, una huella no es un homomorfismo y el conjunto de huellas no forma un grupo.

Propiedades

• Los caracteres de representaciones equivalentes coinciden [2] .
• Las representaciones isomorfas tienen los mismos caracteres [4] .
• Los caracteres de representaciones no isomórficas irreducibles de un grupo finito forman un sistema ortonormal de funciones [2] [5] .
• El cuadrado escalar del carácter de una representación irreducible es igual a uno [2] .
• El carácter de una representación reducible es igual a la suma de los caracteres de todas las representaciones irreducibles que se dan en ella [2] [4] .
• Dos representaciones que tienen los mismos caracteres son equivalentes [2] [6] .
• Si la representación es reducible, entonces el cuadrado escalar de su carácter es mayor que uno [7] .
• Los elementos mutuamente conjugados tienen grupos y caracteres iguales [7] .
• El conjunto de caracteres de todas las representaciones irreducibles se completa en el espacio lineal de funciones definidas sobre las clases de elementos conjugados [7] .
• Para cualquier elemento del grupo [8] .
• Para que una representación sea irreductible es necesario y suficiente que el cuadrado escalar de su carácter sea igual a [9] .

Notas

1. ↑ Van der Waerden, 2004 , pág. 62.
2. ↑ 1 2 3 4 5 6 Lyubarsky, 1958 , pág. 56.
3. ↑ Golovina, 1975 , pág. 366.
4. ↑ 1 2 Golovina, 1975 , p. 367.
5. ↑ Golovina, 1975 , pág. 369.
6. ↑ Van der Waerden, 2004 , pág. 64.
7. ↑ 1 2 3 Lyubarsky, 1958 , pág. 57.
8. ↑ Golovina, 1975 , pág. 368.
9. ↑ Golovina, 1975 , pág. 372.

Literatura

• Lyubarsky G. Ya. Teoría de grupos y su aplicación en física. — M .: Nauka, 1958. — 354 p.
• Van der Waerden BL Método de teoría de grupos en mecánica cuántica. — M. : Editorial URSS, 2004. — 200 p.
• Golovina L. I. Álgebra lineal y algunas de sus aplicaciones. — M .: Nauka, 1975. — 407 p.