Cadena de Pappus de Alejandría

La cadena de Pappus de Alejandría es un anillo dentro de dos círculos tangentes rellenos en pares con círculos tangentes de diámetros más pequeños. Explorado por Pappus de Alejandría en el siglo III d.C. mi.

Edificio

Tomemos los puntos en este orden en una línea recta y construyamos círculos y con diámetros y respectivamente, cuyos centros denotamos y . Una figura delimitada por círculos es similar a un arbelos (pero su límite consta de dos círculos en lugar de tres arcos) y permite una cadena de círculos, al igual que en el teorema de Pappus de Alejandría . En este caso, cada círculo de la cadena toca el círculo exterior, el círculo interior y dos círculos adyacentes de la cadena. $A B C$ ${\ estilo de visualización C_ {U}}$ $CV$ $AB$ $C.A.$ $tu$ $V$ ${\ estilo de visualización C_ {U}}$ $CV$

Propiedades

Los centros de las circunferencias de la cadena están situados sobre una elipse común , cuyos focos son los centros y circunferencias de la figura envolvente, ya que la suma de las distancias desde el centro de la n-ésima hasta los puntos y no depende de n : $P_{n}$ $tu$ $V$ $tu$ $V$

{\overline {\mathbf {P} _{n}\mathbf {U} }}+{\overline {\mathbf {P} _{n}\mathbf {V} }}=\left(r_{ U}+r_{n}\derecha)+\izquierda(r_{V}-r_{n}\derecha)=r_{U}+r_{V}

Si , entonces el centro y el radio del n-ésimo círculo de la cadena están dados por las fórmulas $r=AC/AB$ $P_{n}$ $r_{n}$

\left(x_{n},y_{n}\right)=\left({\frac {r(1+r)}{2[n^{2}(1-r)^{2} +r]}}~,~{\frac {nr(1-r)}{n^{2}(1-r)^{2}+r}}\right),

r_{n}={\frac {(1-r)r}{2[n^{2}(1-r)^{2}+r]}}

Véase también

Literatura

Ogilvy, CS Excursiones en Geometría (indefinidas) . - Dover, 1990. - S. 54 -55. - ISBN 0-486-26530-7 .
León Bankoff. ¿Cómo lo hizo Pappus? // El jardinero matemático / DA Klarner. - Boston: Prindle, Weber y Schmidt, 1981. - P. 112–118.
- León Bankov. 2.6. ¿Cómo demostró Papp su teorema? // Jardín de flores matemático / Comp. y ed. D. A. Klarner; por. De inglés. Yu. A. Danilova ; por debajo. ed., con prefacio. y aplicación I. M. Yagloma . - M .: Mir , 1983. - S. 143-152.
Johnson, RA Geometría euclidiana avanzada: un tratado elemental sobre la geometría del triángulo y el círculo . - reimpresión de la edición de 1929 de Houghton Miflin. - Nueva York: Dover Publications , 1960. - P. 116-117. - ISBN 978-0-486-46237-0 .
Wells, D. Diccionario Penguin de geometría curiosa e interesante (inglés) . - Nueva York: Penguin Books , 1991. - P. 5-6 . — ISBN 0-14-011813-6 .

Enlaces

Floer van Lamoen y Eric W. Weisstein. Pappus Chain (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
Tan, Stephen Arbelos . (indefinido)