Alfombra apolonio

Alfombra de Apolonio , o cuadrícula de Apolonio: un fractal , construido sobre tres círculos tangentes por pares. Representa el conjunto límite de todas las sucesiones posibles de círculos, cada uno de los cuales toca a tres ya construidos. Nombrado en honor al matemático griego Apolonio de Perge .

Edificio

Comencemos con tres círculos, cada uno de los cuales es tangente a los otros dos. A continuación, añadimos recursivamente círculos a la figura existente, cada uno de los cuales toca unos tres círculos ya construidos. En el primer paso sumaremos dos, en el segundo seis, y así sucesivamente.

Continuando con la construcción, agregamos 2 3 n círculos nuevos en el paso n .

El cierre de los círculos construidos se llama cuadrícula de Apolonio .

Propiedades

• La cuadrícula de Apolonio tiene una dimensión de Hausdorff de aproximadamente 1,3057 [1] .
• La cuadrícula de Apolonio se puede considerar como la unión de dos subconjuntos homeomorfos al triángulo de Sierpinski , que comparten vértices.
• El subgrupo del grupo de transformaciones de Möbius , que consiste en aquellas transformaciones que toman en sí la cuadrícula de Apolonio, actúa transitivamente sobre los círculos de la cuadrícula.
• La cuadrícula de Apolonio se puede definir como el conjunto límite del grupo de transformaciones del plano formado por inversiones en cuatro círculos tangentes por pares.

Curvatura

La curvatura de un círculo se define como el recíproco de su radio.

• La curvatura negativa indica que todos los demás círculos tocan este círculo desde el interior. Este es el círculo delimitador.
• La curvatura cero da una línea (círculo con radio infinito).
• La curvatura positiva indica que todos los demás círculos son tangentes a este círculo desde el exterior. Este círculo está dentro de un círculo con curvatura negativa.

En la cuadrícula de Apolonio, todos los círculos tienen curvatura positiva, excepto uno, el círculo delimitador.

Rejillas enteras de Apolonio

Suponga, denote las curvaturas de cuatro círculos tangentes por pares. Según el teorema de Descartes

De ello se deduce que si cuatro círculos tangentes por pares tienen curvaturas enteras, entonces todos los demás círculos en su cuadrícula de Apolonio tienen curvaturas enteras. Hay infinitas cuadrículas enteras de este tipo . [2] A continuación se muestran varias mallas completas con curvaturas circunferenciales marcadas.

Variaciones y generalizaciones

El equivalente 3D de la cuadrícula apolínea es el empaquetamiento apolíneo de esferas.

Notas

1. ↑ Curtis T. McMullen. Dimensión de Hausdorff y dinámica conforme, III: cálculo de la dimensión // American Journal of Mathematics. — vol. 120. - Pág. 691-721. -doi : 10.1353/ ajm.1998.0031 .
2. ↑ Ronald L. Graham, Jeffrey C. Lagarias, Colin M. Mallows, Alan R. Wilks y Catherine H. Yan; "Empaques de círculos apolíneos: teoría de números" , J. Number Theory, 100 (2003), 1–45.

Literatura

• A. A. Kirillov. Parte II. Alfombra de Apolonio // Historia de dos fractales . - 2ª ed., corregida. - M .: Editorial MTsNMO , 2010. - ( Escuela de Verano "Matemáticas Modernas" ). - ISBN 978-5-94057-670-9 .