Alternancia de Chebyshev

Alternancia de Chebyshev (o simplemente alternancia ) (del francés alternancia - "alternancia") - en matemáticas, tal conjunto de puntos , en el que una función continua de una variable toma secuencialmente su valor máximo en valor absoluto, mientras que los signos de la función en estos puntos se alternan. $x_{1}<x_{2}<...<x_{N}$ $g(x)$ $g(x_{1}),$ $g(x_{2}),...,$ $g(x_{N})$

Tal construcción se encontró por primera vez en el teorema sobre la caracterización del polinomio de mejor aproximación, descubierto por P. L. Chebyshev en el siglo XIX. El término alternancia en sí mismo fue introducido por IP Natanson en la década de 1950.

Teorema de la alternancia de Chebyshev

Para que un polinomio de grado sea un polinomio de la mejor aproximación uniforme de una función continua , es necesario y suficiente que existan en al menos puntos tales que $Q_{n}(x)$ $norte$ $f(x)$ $[a,b]$ $n+2$ $x_{0}<...<x_{{n+1}}$

f(x_{i})-Q_{n}(x_{i})=\alpha (-1)^{i}||f-Q_{n}||

donde simultáneamente para todos . $i=0,...,n+1,\alfa =\pm 1$ $i$

Los puntos que satisfacen las condiciones del teorema se denominan puntos de la alternancia de Chebyshev. $x_{0}<...<x_{{n+1}}$

Un ejemplo de una función de aproximación

Suponga que es necesario aproximar la función raíz cuadrada utilizando una función lineal (polinomio de primer grado) en el intervalo (1, 64). A partir de las condiciones del teorema, necesitamos encontrar (en el caso bajo consideración - 3) puntos de la alternancia de Chebyshev. Por tanto, debido a la convexidad de la diferencia entre una raíz cuadrada y una función lineal, tales puntos son el único punto extremo de esta diferencia y los extremos del intervalo sobre el que se aproxima la función. Denotemos . - punto extremo. Entonces se cumplen las siguientes ecuaciones: $n+2$ $a=1,b=64$ $d$

${\sqrt 1}-(\alpha _{0}+\alpha _{1}\times 1)=\alpha L$

${\sqrt d}-(\alpha _{0}+\alpha _{1}\times d)=-\alpha L$

${\sqrt {64}}-(\alpha _{0}+\alpha _{1}\times 64)=\alpha L$

Aquí están las diferencias entre los valores de la función y el polinomio. Restando la primera ecuación de la tercera, obtenemos que $\ alfa L$

$\alpha _{1}={\frac {1}{9}}=0,(1)$

Como es el punto extremo, y la función lineal y la función de raíz cuadrada son continuas y derivables, el valor se puede determinar a partir de la siguiente ecuación: $d$ $d$

$({\raíz cuadrada x})'(d)-\alpha _{1}=0$

De aquí $d=20{\frac{1}{4}}=20,25$

Ahora podemos calcular $\alpha _{0}$

$\alpha _{0}={\frac {113}{72}}=1569(4)$

Por tanto, la mejor aproximación lineal de la función en el intervalo de 1 a 64 es: ${\ sqrt {x}}$

${\ fracción {1}{9}}x+{\ fracción {113}{72}}$ .

Véase también

Literatura

Bakhvalov, N.S .; Zhidkov, N. P.; Kobelkov, G. N. Métodos numéricos
Ulyanov, M. V. Algoritmos informáticos eficientes en recursos.

Enlaces

Conferencias de A. M. Matsokin