Hacer clic

"Click" [1] :407 (del inglés.  Chomp ) - un juego matemático , que consiste en comer una barra de chocolate entre dos jugadores según ciertas reglas.

La formulación geométrica moderna del juego fue acuñada por David Gale en 1974, y la formulación aritmética anterior  por Frederick Schuch en 1952. El nombre inglés Chomp  , que literalmente significa "Chawk" (de "slurp"), fue acuñado por Martin Gardner .

Versión geométrica

El campo del juego "Click" - una barra rectangular de chocolate; dos jugadores se turnan para elegir una rebanada y comer junto con todas las rebanadas de arriba ya la derecha [2] . El jugador que se come el trozo inferior izquierdo "envenenado" [3] [1] :407 pierde .

A continuación se muestra un ejemplo de un juego en un tablero de 5 × 3: la rebanada "envenenada" está marcada en rojo y las rebanadas que come el jugador están punteadas.

Comienzo del juego primer jugador segundo jugador primer jugador segundo jugador

En este ejemplo, el primer jugador se ve obligado a comerse la rebanada "envenenada" y, por lo tanto, pierde.

Versión aritmética

El juego "Click" se puede reformular aritméticamente: inicialmente se adivina un número natural ; dos jugadores se turnan para nombrar divisores de un número que no son múltiplos de los ya nombrados . El jugador que se ve obligado a nombrar el número 1 [4] pierde .

Para números con factorización , es decir, que tienen solo dos divisores primos , la versión aritmética se reduce a la geométrica en el rectángulo (k+1) × (l+1). Al mismo tiempo, las rebanadas corresponden a los divisores, las rebanadas comidas corresponden a los divisores prohibidos, la rebanada "envenenada" corresponde al número 1, consulte la tabla a continuación.

9 Dieciocho 36 72 144
3 6 12 24 48
una 2 cuatro ocho dieciséis

Análisis del juego

Desde el punto de vista de la teoría de juegos , Click es un juego imparcial y determinista con información perfecta . Además, el juego tiene un número finito de estados y, por lo tanto, se deduce de los enunciados generales de la teoría del juego que uno de los jugadores debe tener una estrategia ganadora.

Tomar prestada una estrategia permite demostrar que el primer jugador tiene una estrategia ganadora (excepto en el caso de un campo 1 × 1), pero la prueba no es constructiva . En particular, suponga que el segundo jugador tiene una estrategia ganadora y demuestre que el primer jugador también tiene una, asumiendo que el primer jugador comió solo el corte superior derecho [5] en el primer movimiento y consideró el movimiento del segundo jugador que conduce a la estrategia ganadora [6] ; entonces el primer jugador puede hacer él mismo ese primer movimiento, "tomando prestada" la estrategia del segundo jugador. Esto significa que el segundo jugador no puede tener una estrategia ganadora, y por lo tanto el primero la tiene [1] :410 .

A partir de 1974, las estrategias ganadoras del primero se conocen solo por formas parciales del campo [1] :408 :

  1. El campo es cuadrado. En el primer movimiento, el primer jugador debe morder un cuadrado con un lado menos; habrá dos tiras de ancho 1, conectadas una a una en forma de letra "G" invertida. A continuación, el primer jugador debe repetir simétricamente los movimientos del segundo [1] :408 .
  2. El campo tiene la forma 2 × n. En el primer movimiento, el primer jugador debe morder el corte superior derecho. Además, después de cada movimiento del segundo jugador, debe restaurar la situación para que en la línea de fondo haya una porción más [1] :410 .

Además, se encontraron estrategias ganadoras para campos pequeños en la computadora. El tamaño de campo más pequeño conocido para el cual la estrategia ganadora no es única es (8, 10) [7] .

Notas

  1. ↑ 1 2 3 4 5 6 Gardner M. Novelas matemáticas . Por. De inglés. Yu. A. Danilova. ed. Ya. A. Smorodinsky. M., Mir, 1974. 456 págs. de enfermedad; págs. 407-412
  2. ↑ En otra versión - abajo ya la derecha.
  3. ↑ En otra versión, respectivamente, - arriba a la izquierda.
  4. ↑ Formas ganadoras para tus jugadas matemáticas , Volumen 3 (2.ª ed.), por ER Berlekamp, ​​JH Conway y RK Guy. páginas. 275. 2018. ISBN 9780429945618 . CRC Press, 2018. Págs. 39
  5. ↑ Slice, opuesto al "envenenado"; en otra versión - abajo a la derecha.
  6. ↑ Excepto cuando el cuadrado es 1 × 1 y el segundo jugador no se mueve porque el primer jugador ya perdió.
  7. ↑ Elwyn R. Berlekamp et al.: Gewinnen - Strategien für mathematische Spiele , Band 3. Vieweg, Braunschweig/Wiesbaden 1986, ISBN 3-528-08533-9 , S. 172f

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