Secuencia exacta exponencial

Una secuencia exacta exponencial es una secuencia exacta corta fundamental de poleas usada en geometría algebraica compleja [1] .

Definición

Sea una variedad compleja , y sea un haz de funciones holomorfas y su subhaz que consta de funciones que no desaparecen en ninguna parte. El exponente complejo especifica el mapeo $METRO$ ${\mathcal {O}}_{M}$ ${\mathcal {O}}_{M}^{*}$

\exp :{\mathcal {O}}_{M}\to {\mathcal {O}}_{M}^{*},

que es un homomorfismo de haces de grupos abelianos . Este mapeo es localmente sobreyectivo y tiene un núcleo , lo que da una secuencia exacta exponencial [1] $2\pi \mathbb {Z}$

0\a 2\pi i\,\mathbb {Z} \a {\mathcal {O}}_{M}\a {\mathcal {O}}_{M}^{*}\a 0 .

Propiedades

Esta secuencia exacta no es sobreyectiva en secciones globales , por ejemplo, en un disco perforado , sino que continúa en una secuencia exacta larga de cohomología de gavilla , que comienza como

0\a H^{0}(\mathbb {Z} )\a H^{0}({\mathcal {O}}_{M})\a H^{0}({\mathcal { O}}_{N}^{*})\a H^{1}(\mathbb {Z} )\a H^{1}({\mathcal {O}}_{M})\a H^ {1}({\mathcal {O}}_{M}^{*}){\xrightarrow[{}]{c_{1}}}H^{2}(\mathbb {Z} )\to \cdots

donde es el grupo de Picard , es decir, el grupo de clase de isomorfismo de haces de líneas , y es la primera clase de Chern [1] . $H^{1}({\mathcal {O}}_{M}^{*})$ $c_{1}$

Notas

↑ 1 2 3 Griffiths F., Harris J. Principios de geometría algebraica = Principios de geometría algebraica. - M. : Mir, 1982. - Vol. 1.- ISBN 9780471050599 .