Transformaciones de matrices elementales

Transformaciones de matrices elementales

Las transformaciones de matrices elementales son aquellas transformaciones de matrices que conservan la equivalencia de las matrices. Así, las transformaciones elementales no cambian el conjunto solución del sistema de ecuaciones algebraicas lineales que representa esta matriz.

Las transformaciones elementales se utilizan en el método de Gauss para reducir una matriz a una forma triangular o escalonada .

Definición

Las transformaciones elementales de cadenas se llaman:

permutación de dos filas cualquiera de la matriz;
multiplicación de cualquier fila de la matriz por la constante , , mientras que el determinante de la matriz se incrementa k veces; $k$ ${\ Displaystyle k\ neq 0}$
suma a cualquier fila de la matriz de otra fila, multiplicada por alguna constante.

En algunos cursos de álgebra lineal , la permutación de los renglones de la matriz no se distingue como una transformación elemental separada debido al hecho de que la permutación de dos renglones de la matriz se puede obtener multiplicando cualquier renglón de la matriz por una constante y sumando a cualquier renglón de la matriz otra fila multiplicada por la constante , . $k$ ${\ Displaystyle k\ neq 0}$ $k$ ${\ Displaystyle k\ neq 0}$

Las transformaciones de columnas elementales se definen de manera similar .

Las transformaciones elementales son reversibles .

La designación indica que la matriz se puede obtener a partir de transformaciones elementales (o viceversa). $A \ sim B$ $A$ $B$

Propiedades

Invariancia de rango bajo transformaciones elementales

Teorema (sobre la invariancia de rango bajo transformaciones elementales).
Si , entonces .

A \ sim B

\mathrm {sonido} A=\mathrm {sonido} B

Equivalencia de SLAE bajo transformaciones elementales

Llamemos a las transformaciones elementales sobre el sistema de ecuaciones algebraicas lineales :

permutación de ecuaciones;
multiplicar una ecuación por una constante distinta de cero;
suma de una ecuación a otra, multiplicada por alguna constante.

Es decir, transformaciones elementales sobre su matriz expandida. Entonces la siguiente afirmación es verdadera:

Teorema (sobre la equivalencia de sistemas de ecuaciones bajo transformaciones elementales).
El sistema de ecuaciones algebraicas lineales obtenido por transformaciones elementales sobre el sistema original es equivalente a él.

Recuerde que se dice que dos sistemas son equivalentes si sus conjuntos de soluciones son iguales.

Encontrar matrices inversas

Teorema (sobre la búsqueda de la matriz inversa).
Deje que el determinante de la matriz sea distinto de cero, deje que la matriz esté definida por la expresión . Luego, con una transformación elemental de las filas de la matriz a la matriz identidad en la composición , la transformación a se lleva a cabo simultáneamente .

A_{{n\veces n}}

B

{\displaystyle B=[A|E]_{n\times 2n))

A

mi

B

mi

A^{{-1}}

Reducción de matrices a forma escalonada

Ver artículo: Vista escalonada por filas

Introduzcamos el concepto de matrices escalonadas: Una matriz tiene forma escalonada si:

A

Todas las filas cero de la matriz son las últimas; $A$
Para cualquier fila distinta de cero de la matriz (sea, por definición, su número sea ), lo siguiente es cierto: si es el primer elemento distinto de cero de la fila , entonces . $A$ $k$ ${\ Displaystyle a_ {kj}}$ $k$ $\forall i,l:\;i>k,\;l\leq j\quad a_{il}=0$

Entonces la siguiente afirmación es verdadera:

Teorema (sobre la reducción de matrices a una forma escalonada).
Cualquier matriz por transformaciones elementales solo sobre filas se puede reducir a una forma escalonada.

Definiciones relacionadas

matriz elemental. Una matriz A es elemental si la multiplicación de una matriz arbitraria B por ella conduce a transformaciones de fila elementales en la matriz B.

Literatura

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Álgebra lineal: un libro de texto para escuelas secundarias . - 6ª ed., borrada. - M. : FIZMATLIT, 2004. - 280 p.