Transformaciones de matrices elementales |
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Las transformaciones de matrices elementales son aquellas transformaciones de matrices que conservan la equivalencia de las matrices. Así, las transformaciones elementales no cambian el conjunto solución del sistema de ecuaciones algebraicas lineales que representa esta matriz.
Las transformaciones elementales se utilizan en el método de Gauss para reducir una matriz a una forma triangular o escalonada .
Las transformaciones elementales de cadenas se llaman:
En algunos cursos de álgebra lineal , la permutación de los renglones de la matriz no se distingue como una transformación elemental separada debido al hecho de que la permutación de dos renglones de la matriz se puede obtener multiplicando cualquier renglón de la matriz por una constante y sumando a cualquier renglón de la matriz otra fila multiplicada por la constante , .
Las transformaciones de columnas elementales se definen de manera similar .
Las transformaciones elementales son reversibles .
La designación indica que la matriz se puede obtener a partir de transformaciones elementales (o viceversa).
Teorema (sobre la invariancia de rango bajo transformaciones elementales). Si , entonces . |
Teorema (sobre la equivalencia de sistemas de ecuaciones bajo transformaciones elementales). El sistema de ecuaciones algebraicas lineales obtenido por transformaciones elementales sobre el sistema original es equivalente a él. |
Teorema (sobre la búsqueda de la matriz inversa). Deje que el determinante de la matriz sea distinto de cero, deje que la matriz esté definida por la expresión . Luego, con una transformación elemental de las filas de la matriz a la matriz identidad en la composición , la transformación a se lleva a cabo simultáneamente . |
Ver artículo: Vista escalonada por filas
Introduzcamos el concepto de matrices escalonadas: Una matriz tiene forma escalonada si:Teorema (sobre la reducción de matrices a una forma escalonada). Cualquier matriz por transformaciones elementales solo sobre filas se puede reducir a una forma escalonada. |
matriz elemental. Una matriz A es elemental si la multiplicación de una matriz arbitraria B por ella conduce a transformaciones de fila elementales en la matriz B.