Tasa de interés efectiva

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Tasa de interés efectiva ( EIR, EIR, tasa de interés efectiva ) es la tasa de interés (tasa de descuento) a la que el valor descontado del flujo de efectivo de un instrumento financiero (activo, pasivo, proyecto de inversión, etc.) es igual a alguna estimación de el valor actual de este instrumento ( inversiones). La tasa de interés efectiva se puede determinar para cualquier período de tiempo, pero la tasa de interés efectiva anual generalmente está implícita.

EIR es una tasa de interés compuesta que tiene en cuenta el valor del dinero en el tiempo, lo que le permite comparar varios flujos de efectivo, instrumentos, activos, pasivos y proyectos entre sí.

Se pueden usar diferentes nombres en diferentes situaciones. Para bonos, se utiliza el concepto de rendimiento al vencimiento (YTM), para proyectos de inversión, la tasa interna de retorno (INR, IRR, Internal Rate of Return).

El método EIR es el método principal para medir activos y pasivos financieros en NIIF (ver NIIF 9) cuando se llevan a costo amortizado. En el reconocimiento inicial, un instrumento se mide a valor razonable y se usa para determinar la EIR. Además, el valor del instrumento se determina como el valor descontado del flujo de caja del instrumento esperado después del momento actual en este EIR inicial.

Descripción formalizada

Definición general

De acuerdo con la definición, la TIE de un instrumento financiero con un valor S (en un momento dado) generalmente se define como una solución con respecto a r de la ecuación

$S=\sum_{i=1}^{n}{\frac {CF_{t_{i}}}{(1+r)^{t_{i}}}}$

donde es el pago por el instrumento en el momento del tiempo (el tiempo se cuenta desde el momento actual en unidades de r). $CF_{t_{i))$ $t_{yo}$

Si la EPS se determina para algún período base, entonces para determinar la EPS para el período T, que contiene m períodos base (m no es necesariamente un número entero) en la ecuación anterior en potencias de factores de descuento, el tiempo también debe convertirse a nuevas unidades , respectivamente, en lugar de usar . Esto es equivalente a usar en lugar de , por lo tanto tenemos interés compuesto, es decir $t_{yo}$ $t_{i}/m$ $1+r$ ${\ estilo de visualización (1 + R) ^ {1 / m))$

$R=(1+r)^{m}-1$

EIR de un instrumento que devenga intereses con reembolso total del monto original durante (o al final de) el plazo

Deje que las siguientes condiciones se cumplan simultáneamente para el instrumento:

1) los pagos de un instrumento financiero son únicamente pagos para pagar la deuda principal y los intereses de su parte restante; 2) los pagos se realizan después de un período de tiempo fijo (en adelante, el período base); 3) la tasa de interés nominal bajo el contrato no cambia a lo largo de la vigencia del contrato (lo denotamos q para la tasa del período base) y se utiliza para calcular el componente porcentual de los pagos: el interés para este período base es igual a el producto de q por el saldo de la deuda principal al inicio del período base; 4) durante la vigencia del contrato, el monto inicial de la deuda se paga en su totalidad ( no importa el cronograma específico de pago de la deuda, la deuda puede pagarse en su totalidad al final del plazo y durante el plazo).

Se puede demostrar que bajo estas condiciones, la tasa de interés efectiva para el período base es igual a la tasa de interés nominal para el mismo período: . Al mismo tiempo, la TIE para otro período no es igual a la tasa nominal para el mismo período, pero debe recalcularse utilizando la fórmula de interés compuesto. Por ejemplo, la UPA para m periodos base será igual a: , que no coincide con la tasa nominal de este periodo: ${\ estilo de visualización r = q}$ ${\displaystyle R_{m}=(1+q)^{m))$ $Q=qm$

Prueba

La UPA para el período base se define como la solución con respecto a r de la solución a la ecuación:

S_{0}=\sum _{t=1}^{n}{\frac {CF_{t}}{(1+r)^{t}}}

A su vez, los pagos consisten en pagos para la cancelación de la deuda principal y los intereses de su parte remanente:

CF_{t}=-\Delta {S_{t}}+I_{t}=S_{t-1}-S_{t}+qS_{t-1}=(1+q)S_{t -1}-S_{t}

Entonces la ecuación para encontrar el EPS se verá así:

S_{0}=\sum _{t=1}^{n}{\frac {(1+q)S_{t-1}-S_{t}}{(1+r)^{t }}}=\sum_{t=1}^{n}{\frac {(1+q)S_{t-1}}{(1+r)^{t}}}-\sum_{t =1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t}}}={\frac {1+q}{1+r}}\sum _{t=1 }^{n}{\frac {S_{t-1}}{(1+r)^{t-1}}}-\sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t }}{(1+r)^{t}}}

Denotemos por conveniencia y teniendo en cuenta qué y qué (al final del plazo el instrumento debe ser reembolsado), la ecuación para TIE tomará la forma: $k={\frac{1+q}{1+r))$ $\sum_{t=1}^{n}{\frac {S_{t-1}}{(1+r)^{t-1}}}=\sum_{t=1}^ {n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t}}}-{\frac {S_{n}}{(1+r)^{n}}}+S_{0 }$ ${\ estilo de visualización S_ {n} = 0}$

S_{0}=k(\sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t}}}+S_{0})- \sum _{t=1}^{n}{\frac{S_{t}}{(1+r)^{t}}}

Por lo tanto obtenemos la igualdad

(1-k)S_{0}=-(1-k)\sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t} }}

Si entonces esta expresión conduce a una igualdad imposible: ya que el lado izquierdo y el lado derecho de la igualdad son distintos de cero y tienen signos opuestos. Por lo tanto, la única consecuencia de esto es que . Esto significa que , es decir, las tasas nominales y efectivas para el período base son iguales entre sí, lo cual debía probarse. ${\ estilo de visualización k <> 1}$ ${\displaystyle S_{0}=-\sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t))))$ $k=1$ ${\ estilo de visualización q = r}$

Así, en el caso de dichos instrumentos, la TIE puede determinarse no mediante la resolución de ecuaciones, sino mediante una fórmula directamente a partir de la tasa nominal del contrato y la frecuencia de los pagos. Si la tasa nominal anual es igual a Q, y los pagos se realizan en períodos iguales de t días, entonces el número de períodos base por año es igual a m=365/t y la tasa de interés efectiva anual será igual a

$R=(1+Q/m)^{m}-1$

Ejemplos de tales instrumentos que devengan intereses son todos los préstamos y depósitos estándar, a menos que se tengan en cuenta ingresos o gastos adicionales al calcular la EIR. Al mismo tiempo, no importa el calendario de pagos (anualidad, diferenciado, al final del plazo, etc.), lo que importa son los mismos plazos para realizar los pagos (o capitalización de intereses), la ausencia de otros flujos de caja distintos que el reembolso del principal de la deuda y los intereses sobre su saldo.

Sin embargo, cabe señalar que si el interés se calcula, por ejemplo, mensualmente, según el número exacto de días en un mes, entonces formalmente los meses no tienen la misma duración, por lo que las condiciones anteriores no son del todo exactas. y, en consecuencia, la fórmula anterior no es exacta. Sin embargo, el error asociado con esto no suele ser significativo y, en la práctica, en muchos casos se puede despreciar.

El caso especial más simple: un instrumento que devenga intereses con reembolso de la deuda al final del plazo

En el caso más simple, cuando existe un instrumento (por ejemplo, un préstamo o un bono) con un valor S (monto del préstamo, valor nominal), que se devuelve exactamente en la misma cantidad al final del plazo, sobre el cual se pagan los intereses. se devenga a una tasa q por un período base fijo (período cupón) durante la vida del instrumento, se puede demostrar directamente que la TIE para el período base es igual a la tasa nominal para ese período. De hecho, la ecuación de la UPA anual para este período base es

$S=\sum _{i=1}^{n}{\frac {q*S}{(1+r)^{i))}+{\frac {S}{(1+r) ^{n}}}=qS{\frac{1-(1+r)^{-n}}{r}}+S(1+r)^{-n}$

De aquí

$S(1-(1+r)^{-n})=qS{\frac {1-(1+r)^{-n}}{r}}$

Reduciendo las partes izquierda y derecha por obtenemos que q=r , es decir, la UPA del período base y la tasa nominal del mismo período son iguales entre sí. ${\ estilo de visualización S (1- (1 + r) ^ {- n})}$

Nótese que para el mismo bono, comprado no a su valor nominal, sino a algún otro precio de mercado, la afirmación anterior sobre la igualdad de la UPA y la tasa nominal para el período base ya no es cierta, ya que un monto diferente al inicial se paga durante el período.

Tasa de interés efectiva

Descripción formalizada

Definición general

EIR de un instrumento que devenga intereses con reembolso total del monto original durante (o al final de) el plazo

Véase también