Números conjugados

Los números conjugados ( números conjugados complejos ) son un par de números complejos que tienen las mismas partes reales e iguales en valor absoluto , pero de signo opuesto, partes imaginarias [1] . Por ejemplo, los números y son conjugados . El conjugado de un número se denota por . En el caso general, el conjugado de un número (donde y son números reales ) es . ${\ estilo de visualización 3+4i}$ ${\ estilo de visualización 3-4i}$ $z$ $\overline{z}$ ${\ estilo de visualización z = a + ib}$ $a$ $b$ ${\overline {z}}=a-ib$

Por ejemplo:

{\overline {(3-2i)))=3+2i

{\sobrelínea {7}}=7

{\overline {i}}=-i.

En el plano complejo, los números conjugados están representados por puntos que son simétricos con respecto al eje real. En el sistema de coordenadas polares, los números conjugados tienen la forma y , que se deriva directamente de la fórmula de Euler . ${\displaystyle re^{i\phi ))$ ${\displaystyle re^{-i\phi ))$

Los números conjugados son las raíces de una ecuación cuadrática con coeficientes reales y un discriminante negativo.

Propiedades

Para números complejos arbitrarios y : $z$ $w$

${\overline {(z\pm w)}}={\overline {z}}\pm {\overline {w}}$ ,
${\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}$
${\overline {z}}=z\Leftrightarrow z$ es un número real,
${\overline {z^{n}}}={\overline {z}}^{n}$ para todos los enteros , $norte$
$\left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|$ ,
${\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}={\overline {z}}z$ ,
${\overline {\overline {z}}}=z$ (es decir, la conjugación es una involución ),
${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}({\left|z\right|}^{2))))$ si no es igual a cero. Esta propiedad se usa para calcular el recíproco de un número complejo dado en coordenadas rectangulares. $z$

Si es una función holomorfa cuya restricción al conjunto de números reales es una función real, y está definida , entonces: $\fi$ ${\ estilo de visualización \ phi (z)}$

\phi ({\overline {z)))={\overline {\phi (z)))

En particular:

$\exp({\overline {z)))={\overline {\exp(z)))$
$\log({\overline {z)))={\overline {\log(z)))$ si no es igual a cero. $z$
si es un polinomio con coeficientes reales y , entonces también , es decir, las raíces complejas (no reales) de tales polinomios siempre forman pares complejos conjugados. $pags$ ${\ estilo de visualización p (z) = 0}$ $p({\overline {z)))=0$

Determinación de las coordenadas de un número y conjugación

Las coordenadas rectangulares y polares de un número complejo se pueden determinar usando las fórmulas:

$x=\operatorname {Re} \,(z)=(z+{\overline {z)))/2$
$y=\operatorname {Im} \,(z)=(z-{\overline {z)))/2i$
${\ estilo de visualización \ rho = \ izquierda | z \ derecha | = {\ sqrt {z \ cdot {\ overline {z}}}}}$
$e^{i\theta }=z/\left|z\right|=e^{i\arg z}={\sqrt {z/{\overline {z))))$ (si no es igual a cero). $z$

Notas

↑ Weisstein, Eric W. Complex Conjugates en el sitio web de Wolfram MathWorld .

Literatura

Shabat BV Introducción al análisis complejo. — M .: Nauka , 1969. — 577 p.

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