Axiomática de bachmann

La axiomática de Bachmann es un sistema de axiomas de geometrías neutras y euclidianas , construido sobre el concepto de grupos de movimientos. Sugerido por Friedrich Bachmann . [una]

Notación

La conmutabilidad de dos elementos en un grupo, es decir, el cumplimiento de la identidad se denotará por ; mientras tanto significa la ejecución simultánea de , y . $a\cdot b=b\cdot a$ ${\ estilo de visualización a|b}$ ${\ estilo de visualización a, b | c, d}$ ${\ estilo de visualización a|c}$ ${\ estilo de visualización a|d}$ ${\ estilo de visualización b | c}$ ${\ estilo de visualización b|d}$

Dado un grupo con un distinguido sistema invariante de generadores , formado por elementos involutivos . Los elementos de se indican con letras latinas minúsculas. Aquellos elementos involutivos de que pueden representarse como un producto de dos elementos de (es decir, elementos de la forma , donde ) se denotan con letras latinas mayúsculas. ${\mathfrak{G}}$ ${\mathfrak {S}}$ ${\mathfrak {S}}$ ${\mathfrak{G}}$ ${\mathfrak {S}}$ $a\cdot b$ $a,b\in {\mathfrak {S))$

Geometría neutra

Axioma 1. Para cualquier , existe tal que . $PAGS$ $q$ $gramo$ ${\ estilo de visualización P, Q | g}$

Axioma 2. Se sigue que o . ${\ estilo de visualización P, Q | g, h}$ ${\ estilo de visualización P = Q}$ ${\ estilo de visualización g = h}$

Axioma 3. Si , entonces existe un elemento tal que . ${\ estilo de visualización a, b, c | P}$ $d$ $a\cdot b\cdot c=d$

Axioma 4. Si , entonces existe un elemento tal que . ${\ estilo de visualización a, b, c | g}$ $d$ $a\cdot b\cdot c=d$

Axioma D. Existen tales que , y ninguna de las relaciones , , . ${\ estilo de visualización g, h, j}$ ${\ estilo de visualización g | h}$ ${\ estilo de visualización j|g}$ ${\ estilo de visualización j|h}$ $j|g\cdot h$

Conexión con los axiomas habituales

Este sistema de axiomas se satisface con los grupos de planos euclidianos y no euclidianos, si se toman como un conjunto de simetrías axiales. En este caso, aquellos elementos involutivos del grupo que pueden representarse como producto de dos elementos de resultarán ser simetrías centrales. ${\mathfrak {S}}$ ${\mathfrak {S}}$

Así, el conjunto se puede identificar con el conjunto de líneas en el plano, y el conjunto de elementos involutivos del grupo se puede representar como un producto de dos elementos a partir de un conjunto de puntos. ${\mathfrak {S}}$ ${\mathfrak {S}}$

Donde,

razón significa que el punto se encuentra en una línea . $P|a$ $PAGS$ $a$
razón significa que la línea es perpendicular a la línea ; ${\ estilo de visualización a|b}$ $a$ $b$
- en este caso hay un punto de intersección y . $P=a\cdot b$ $a$ $b$

Geometría euclidiana

El sistema para la geometría euclidiana se complementa con dos axiomas

Axioma R. De y sigue . ${\ estilo de visualización a, b | c}$ ${\ estilo de visualización a|d}$ ${\ estilo de visualización b|d}$

Axioma V. Para cualquiera siempre existe eso , o hay una línea tal que . $a, b$ $C$ ${\ estilo de visualización a, b | C}$ $C$ ${\ estilo de visualización a, b | c}$

Notas

↑ Friedrich Bachmann. Construcción de geometría basada en el concepto de simetría. — 1969.