Involución (matemáticas)

Involución (del lat. involutio - plegamiento, rizo) - una transformación que es la inversa de sí misma. A menudo, además, se supone que una involución es un mapeo sin identidad .

Definición

Una función se llama involución si para cualquier . $f\dos puntos X\a X$ $f(f(x)) = x$ $x\en X$

Propiedades

Cualquier involución es una biyección .

La composición de dos involuciones es una involución si y sólo si conmutan: . ${\displaystyle {f}\circ{g))$ $F$ $gramo$ ${f}\circ {g}=g\circ f$

Ejemplos

$f(x) = -x$ , definida sobre el conjunto de los números enteros , racionales o reales ; $\matemáticas {Z}$ $\matemáticas {Q}$ $\matemáticas {R}$
las involuciones más simples en el conjunto de números reales : $\matemáticas {R}$ ${\dfrac{a}{x}}$ , , , , , ; $hacha$ ${\dfrac{x}{x-1))$ ${\ estilo de visualización {\ dfrac {x + 1} {x-1}}}$ ${\dfrac{x-1}{x+1}}$ ${\dfrac{ax+b}{cx-a}}$
$f(x)=\bar{x}$ es el complemento del conjunto especificado para subconjuntos de algún conjunto universal ; $tu$
$f(x)= \neg x$ - negación lógica del álgebra booleana ;
Entre los movimientos del plano, existen dos tipos de involuciones no triviales: las simetrías centrales y especulares .
- Así, las involuciones corresponden a líneas y puntos, los principales objetos de la planimetría. La axiomática de Bachmann se basa en esta observación .
inversión ;
conjugación compleja ;
Transformación legendre
Una permutación es una involución si cada involución es producto de transposiciones disjuntas, por ejemplo: $\tau$ $\tau\circ\tau=id$ $\begin{pmatrix} 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8\\ 5 y 7 y 4 y 3 y 1 y 8 y 2 y 6\end{pmatrix} = (1,5)(2 .7)(3.4)(6.8)$ .
- El número de involuciones en el grupo de permutación de orden está determinado por las fórmulas: $norte$ $a(0)=1,\ a(1)=1,\ a(n)=a(n-1)+(n-1)a(n-2),\ n>1$ (fórmula recurrente), $a(n) = \sum_{k=0}^{[ n/2 ]}{\frac{n!}{2^k\cdot (n-2k)!\cdot k!))$ ,

(primeros valores : 1, 1 , 2 , 4 , 10 , 26 , 76 , 232, 764, 2620, 9496, 35696, 140152 [1] ).

un)

Notas

↑ Secuencia OEIS A000085 _