Álgebra externa

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El álgebra externa , o álgebra de Grassmann , es un álgebra asociativa utilizada en geometría para construir la teoría de la integración en espacios multidimensionales. Introducido por primera vez por Grassmann en 1844.

El álgebra exterior sobre el espacio generalmente se denota por . El ejemplo más importante es el álgebra de formas diferenciales en una variedad dada. $V$ ${\ estilo de visualización \ cuña grande V}$

Definición y conceptos relacionados

El álgebra exterior de un espacio vectorial sobre un campo es el álgebra de cociente asociativo de un álgebra tensorial por un ideal de dos colas generado por elementos de la forma : $\ cuña grande V$ $V$ $k$ ${\ estilo de visualización T (V)}$ $yo$ $x\otimes x,x\in V$

{\textstyle \bigwedge}V=T(V)/I

Si la característica del campo es , entonces el ideal es exactamente el mismo que el ideal generado por los elementos de la forma . ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {char} (K) \ neq 2}$ $yo$ $x\otimes y+y\otimes x$

La multiplicación ∧ en tal álgebra se llama producto exterior . Por construcción, es anticonmutativo:

x\cuña y=-(y\cuña x).

La k - ésima potencia exterior del espacio se denomina espacio vectorial generado por elementos de la forma $V$ $\bigwedge \nolimits ^{k}V$

x_{1}\cuña x_{2}\cuña \cdots \cuña x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\ldots,k,

además , y = {0} para k > n . $\dim {\textstyle \bigwedge}^{k}V={\binom {n}{k}}\,$ $\bigwedge \nolimits ^{k}V$

Si y { e 1 , …, e n } es una base , entonces la base es el conjunto ${\ estilo de visualización \ dim V = n}$ $V$ $\bigwedge \nolimits ^{k}V$

\{\,e_{i_{1}}\cuña e_{i_{2}}\cuña \cdots \cuña e_{i_{k}}~{\grande |}~~k=1,2, \cdots ,n~~{\text{ y }}~~1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\,\}.

Después

{\textstyle \bigwedge}(V)={\textstyle \bigwedge}^{0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge}^{1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge}^ {2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge}^{n}(V),

y es fácil ver que el álgebra externa naturalmente tiene una calificación : si y , entonces $\alpha \in \bigwedge \nolimits ^{k}\left(V\right)$ $\beta \in \bigwedge \nolimits ^{p}\left(V\right)$

\alpha \wedge \beta =(-1)^{kp}\beta \wedge \alpha \quad \in \bigwedge \nolimits ^{k+p}\left(V\right).

Propiedades

Los elementos del espacio se llaman r -vectores. En el caso de que la característica del campo principal sea igual a 0, también pueden entenderse como tensores contravariantes r veces asimétricos con la operación del producto tensorial antisimétrico (alterno) , es decir, el producto exterior de dos tensores antisimétricos . tensores es la composición de la antisimetrización completa (alternancia) sobre todos los índices con el producto tensorial . $\bigwedge \nolimits ^{r}V$ $v,$
- En particular, el producto exterior de dos vectores puede entenderse como el siguiente tensor: $(\mathbf {a} \cuña \mathbf {b} )_{ij}=a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}.$
- Nota: No existe un estándar único para lo que significa "antisimetrización". Por ejemplo, muchos autores prefieren la fórmula $(\mathbf {a} \cuña \mathbf {b} )_{ij}=(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})/2.$
El cuadrado exterior de un vector arbitrario es cero: $\omega \in \bigwedge \nolimits ^{1}V$

\omega ^{\cuña 2}=\omega \cuña \omega =0.

Para r -vectores con r par , esto no es cierto. Por ejemplo

(\mathbf {e}_{1}\cuña \mathbf {e}_{2}+\mathbf {e}_{3}\cuña \mathbf {e}_{4})^{\cuña 2}=2\cdot \mathbf {e}_{1}\cuña \mathbf {e}_{2}\cuña \mathbf {e}_{3}\cuña \mathbf {e}_{4}.

Los sistemas linealmente independientes de -vectores y de generan el mismo subespacio si y sólo si los -vectores y son proporcionales. $r$ $x_{1},\puntos,x_{r}$ $y_{1},\puntos,y_{r}$ $V$ $r$ $x_{1}\cuña \puntos \cuña x_{r}$ $y_{1}\cuña \puntos \cuña y_{r}$

Enlaces

Curso de Álgebra de Vinberg E. B. - M. : Prensa Factorial, 2002. - ISBN 5-88688-060-7
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Álgebra lineal y geometría, - M . : Fizmatlit, 2009.
Schutz B. Métodos geométricos de la física matemática. — M .: Mir, 1984.
Efimov NV Introducción a la teoría de las formas externas. — M .: Nauka , 1977.

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Definición y conceptos relacionados

Propiedades

Enlaces

Véase también