Función antiholomórfica

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Las funciones antiholomórficas (también llamadas antianalíticas ) son una familia de funciones estrechamente relacionadas con las funciones holomorfas .

Definición

Una función definida en un subconjunto abierto del plano complejo se llama antiholomórfica si su derivada con respecto existe en todos los puntos de este conjunto. Esto es equivalente a la condición $F$ $D$ ${\ Displaystyle {\ frac {df} {d {\ bar {z}}}}}$ ${\ barz}$

{\frac {\f parcial}{\z parcial}}=0

que se puede dar una forma similar a las condiciones de Cauchy-Riemann :

{\frac {\parcial u}{\parcial x))=-{\frac {\parcial v}{\parcial y))

{\frac {\parcial u}{\parcial y))={\frac {\parcial v}{\parcial x))

dónde

f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y),\quad z=x+iy,\quad \{x,y,u,v\}\subconjunto \mathbb { R}

Una función que depende simultáneamente de y no es ni holomorfa ni antiholomórfica. $z$ ${\ barz}$

Propiedades

$f(z)$ es holomorfa en si y solo si es antiholomórfica en . $D$ ${\ estilo de visualización f ({\ bar {z)))}$ ${\bar {D}}=\{{\bar {z}}|z\en D\}$
una función es antiholomórfica si y solo si puede expandirse en potencias en una vecindad de cada punto de su dominio de definición. ${\ barz}$
$f(z)$ es holomorfa en si y solo si es antiholomórfica en . $D$ ${\ estilo de visualización {\ bar {f}} (z)}$ $D$
si una función es simultáneamente holomorfa y antiholomórfica, entonces es constante en cualquier componente conexa de su dominio.

Literatura

Shabat BV Introducción al análisis complejo . — M .: Nauka . - 1969, 577 páginas.