Tensor antisimétrico
En matemáticas y física teórica , se dice que un tensor es antisimétrico en dos índices i y j si cambia de signo cuando estos índices se intercambian:
Si un tensor cambia de signo cuando se permuta cualquier par de índices, dicho tensor se denomina tensor absolutamente antisimétrico .
Para cualquier tensor U , con componentes , se puede construir un tensor simétrico y antisimétrico según la regla:
(parte simétrica),
(parte antisimétrica),
![{\displaystyle U_{[ij]k\puntos}=(1/2)(U_{ijk\puntos}-U_{jik\puntos})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25491364d297108fe4e838c2d99a1afd7eb5fcb9)
similar para otros índices.
El término "parte" significa que
![{\displaystyle U_{ijk\puntos}=U_{(ij)k\puntos}+U_{[ij]k\puntos}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8b9a1dc8146afb07f560638751c092801fb624e7)
Propiedades
La contracción del tensor A , que es antisimétrico en los índices i y j , con el tensor B , que es simétrico en los índices i y j , es igual a cero. Prueba:
![{\displaystyle A_{(ij)k\puntos}B_{[ij]k\puntos}=A_{(ji)k\puntos}B_{[ji]k\puntos}=-A_{(ij)k\puntos }B_{[ij]k\puntos }=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5057de916bc2d34165d5483d246152579a554a01)
Un tensor antisimétrico importante en física es el tensor de campo electromagnético F en electromagnetismo .