Fórmula asintótica de Weyl

La fórmula asintótica de Weil relaciona el volumen de una variedad riemanniana con el comportamiento asintótico de los valores propios de su laplaciana .

Historia

La relación fue obtenida por Hermann Weyl en 1911. Inicialmente, se formuló solo para regiones del espacio euclidiano. En 1912 presentó una nueva prueba basada en métodos variacionales . [una]

Redacción

Sea una variedad riemanniana -dimensional. Denote por el número de valores propios (teniendo en cuenta la multiplicidad) que no excedan , para el problema de Dirichlet en . Después $\Omega$ $d$ ${\ estilo de visualización N (\ lambda)}$ $\lambda$ $\Omega$

N(\lambda )={\frac {\omega _{d}}{(2\pi )^{d}}}\cdot \operatorname {vol} \Omega \cdot \lambda ^{d/2 }+o(\lambda^{d/2})

donde denota el volumen de la bola unitaria en el espacio euclidiano bidimensional. [2] ${\ estilo de visualización \ omega _ {d))$ $d$

Aclaraciones

La estimación para el resto se ha mejorado muchas veces.

En 1922, Richard Courant lo mejoró a . $O(\lambda ^{(d-1)/2}\log \lambda )$
En 1952, Boris Levitan demostró una restricción más estricta para variedades cerradas. ${\ estilo de visualización O (\ lambda ^ {(d-1)/2})}$
Robert Seeley en particular para incluir ciertos dominios euclidianos, en 1978[3]

Presumiblemente, el siguiente término en las asintóticas para es proporcional al área del límite . Dado este término, la estimación para el resto debe ser . En particular, bajo la condición de que no haya límite, la estimación del resto del término en la fórmula anterior debe ser . ${\ estilo de visualización \ lambda ^ {(d-1)/2))$ $\Omega$ $o(\lambda ^{(d-1)/2})$ $o(\lambda ^{(d-1)/2})$

En 1975, Hans Deistermaat y Victor Guillemin probaron una estimación bajo algunas condiciones de posición generales adicionales. [cuatro] $o(\lambda ^{(d-1)/2})$
- Este último fue resumido por Victor Ivry en 1980. [5] Esta generalización supone que el conjunto de trayectorias periódicas de billar tiene una medida de 0. Esta última posiblemente se cumple para todos los dominios euclidianos acotados con límites suaves. $\Omega$

Notas

↑ H.Weyl. Das asymptotische Verteilungsgesetz linearen partiellen Differentialgleichungen (alemán) // Matemáticas. Ana. : tienda. - 1912. - Bd. 71 . - S. 441-479 .
↑ Weyl, Hermann. Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte (neopr.) // Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. - 1911. - S. 110-117 .
↑ R. Seeley. Una estimación asintótica precisa de los valores propios del Laplaciano en un dominio de // Adv. Matemáticas.. - 1978. - Vol. 29, núm. 2.- Pág. 244-269. - doi : 10.1016/0001-8708(78)90013-0 . ${\ estilo de visualización \ mathbf {R} ^ {3}}$
↑ JJ Duistermaat, VW Guillemin. El espectro de operadores elípticos positivos y bicaracterísticas periódicas // Inventiones mathematicae. - 1975. - vol. 29, núm. 1.- Pág. 39-79. -doi : 10.1007/ BF01405172 .
↑ V. Ya. Ivry. En el segundo término de las asintóticas espectrales para el operador de Laplace-Beltrami en variedades con límite // Funct. análisis y sus aplicaciones.- 1980.- V. 14 , No. 2 . - S. 25-34 .