Variedad de Riemann

Una variedad de Riemann , o espacio de Riemann ( M , g ), es una variedad ( real ) suave M en la que cada espacio tangente está dotado de un producto interno g , un tensor métrico que cambia suavemente de un punto a otro. En otras palabras, una variedad de Riemann es una variedad diferenciable en la que el espacio tangente en cada punto es un espacio euclidiano de dimensión finita .

Esto permite definir varios conceptos geométricos en las variedades de Riemann, como ángulos , longitudes de curva , áreas (o volúmenes ), curvatura , gradiente de función y divergencias de campos vectoriales .

La métrica de Riemann g es un tensor simétrico definido positivo : el tensor métrico ; más precisamente, es un campo tensorial definido positivo simétrico covariante suave de valencia (0,2).

No confunda las variedades de Riemann con las superficies de Riemann , variedades que localmente parecen planos complejos pegados .

El término lleva el nombre del matemático alemán Bernhard Riemann .

Resumen

El paquete tangente de una variedad suave M asigna a cada punto de M un espacio vectorial llamado espacio tangente , y en este espacio tangente se puede introducir un producto interior. Si tal conjunto de productos escalares introducidos en el paquete tangente de una variedad cambia suavemente de un punto a otro, entonces con la ayuda de tales productos se puede introducir metricidad en toda la variedad. Por ejemplo, una curva suave α( t ): [0, 1] → M tiene un vector tangente α′( t 0 ) en el espacio tangente T M ( t 0 ) en cualquier punto t 0 ∈ (0, 1), y cada uno de estos vectores tiene una longitud de ‖α′( t 0 )‖, donde ‖·‖ denota la norma inducida por el producto interno en TM ( t 0 ). La integral sobre estas longitudes da la longitud de toda la curva α:

L(\alpha )=\int _{0}^{1}{\|\alpha '(t)\|\,\mathrm {d} t}.

La suavidad de α( t ) para t en [0, 1] garantiza que la integral L (α) existe y la longitud de la curva está definida.

En muchos casos, para pasar de un concepto lineal-algebraico a uno geométrico diferencial, la suavidad es muy importante.

Cada subvariedad suave de R n tiene una métrica inducida g : el producto interno en cada espacio tangente es solo el producto interno en R n . Lo contrario también es válido: el teorema de incrustación regular de Nash establece que cualquier variedad de Riemann suficientemente suave se puede realizar como una subvariedad con una métrica inducida en R n de dimensión n suficientemente grande .

Medir longitudes y ángulos usando la métrica

En una variedad de Riemann, la longitud de un segmento de curva definido paramétricamente (como una función vectorial del parámetro , que varía de a ) es: $x(t)$ $t$ $a$ $b$

L=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {g_{ij}{dx^{i} \over dt}{dx^{j} \over dt))}\,dt =\int \limits _{x(a)}^{x(b)}{\sqrt {g_{ij}\,dx^{i}\,dx^{j}}}.

El ángulo entre dos vectores, y (en el espacio curvo los vectores existen en el espacio tangente en un punto de la variedad), viene dado por: ${\ estilo de visualización \ theta \ }$ $U=u^{i}{\parcial \sobre \parcial x^{i}}\$ $V=v^{j}{\parcial \sobre \parcial x^{j}}\$

\cos \theta ={\frac {g_{ij}u^{i}v^{j}}{\sqrt {\left|g_{ij}u^{i}u^{j}\right |\izquierda|g_{ij}v^{i}v^{j}\derecha|}}}.

Generalizaciones

Literatura

LICENCIADO EN LETRAS. Dubrovin, SP Novikov, A. T. Fomenko . geometría moderna. - Cualquier edición.
COMO. Mishchenko, A. T. Fomenko . Curso de geometría diferencial y topología. - Cualquier edición.
V. A. Sharafutdinov. Conferencias. Capítulo 5: Variedades de Riemann