Átomo (teoría de la medida)

En la teoría de la medida , un átomo es un conjunto medible de medida positiva que no contiene un subconjunto de una medida positiva más pequeña. Una medida que no tiene átomos se llama sin átomos .

Definición

Si hay un espacio medible y una medida en este espacio, entonces el conjunto de se llama átomo , si ${\ estilo de visualización (X, \ Sigma)}$ $\mu$ $A$ $\Sigma$

{\ estilo de visualización \ mu (A)> 0}

y para cualquier subconjunto medible del conjunto de $B$ $A$

{\ estilo de visualización \ mu (A)> \ mu (B)}

sigue que

{\ estilo de visualización \ mu (B) = 0.}

Ejemplos

Considere un conjunto X = {1, 2, ..., 9, 10}, y sea el sigma-álgebra el conjunto de todos los subconjuntos de X. Definamos la medida de un conjunto como su cardinalidad , es decir, el número de elementos que lo componen. Entonces cada subconjunto de un punto { i } para i = 1, 2, ..., 9, 10 es un átomo. $\Sigma$ $\mu$
La medida de Lebesgue en la recta real no tiene átomos.

Medidas sin átomos

Una medida que no contiene átomos se llama sin átomos . En otras palabras, una medida no tiene átomos si, para cualquier conjunto medible c, existe un subconjunto B medible del conjunto A tal que $A$ ${\ estilo de visualización \ mu (A)> 0}$

{\ estilo de visualización \ mu (A)> \ mu (B)> 0.}

Una medida sin átomos con al menos un valor positivo tiene un número infinito de valores diferentes, porque a partir de un conjunto A con una medida , se puede construir una secuencia infinita de conjuntos medibles ${\ estilo de visualización \ mu (A)> 0}$

A=A_{1}\supset A_{2}\supset A_{3}\supset \cdots

tal que

\mu (A)=\mu (A_{1})>\mu (A_{2})>\mu (A_{3})>\cdots >0.

Esto puede no ser cierto para las medidas con átomos (ver el ejemplo anterior).

De hecho, resulta que las medidas no atómicas tienen un continuo de valores. Se puede demostrar que si μ es una medida sin átomos y A es un conjunto medible con entonces para cualquier número real b que satisfaga la condición ${\ estilo de visualización \ mu (A)> 0,}$

{\ estilo de visualización \ mu (A) \ geq b \ geq 0}

hay un subconjunto B medible del conjunto A tal que

{\ estilo de visualización \ mu (B) = b.}

Este teorema fue demostrado por Vaclav Sierpinski . [1] [2] Se asemeja al teorema del valor intermedio para funciones continuas.

Bosquejo de la demostración del teorema de Sierpinski para medidas no atómicas. Usemos una afirmación un poco más fuerte: si hay un espacio medible sin átomos y , entonces existe una función que define una familia de un parámetro de conjuntos medibles S(t) tal que para todo ${\ estilo de visualización (X, \ Sigma, \ mu)}$ ${\ estilo de visualización \ mu (X) = c}$ ${\ estilo de visualización S: [0, c] \ a \ Sigma}$ $0\leq t\leq t'\leq c$

S(t)\subconjunto S(t'),

\mu \left(S(t)\right)=t.

La prueba se sigue fácilmente del lema de Zorn aplicado al conjunto

\Gamma :=\{S:D\to \Sigma \;:\;D\subset [0,\,c],\,S\;\mathrm {monotono} ,\forall t\in D\ ;(\mu\left(S(t)\right)=t)\},

ordenados por la inclusión de gráficos. Además, se muestra de manera estándar que cualquier cadena en tiene un elemento máximo, y cualquier elemento máximo tiene un dominio de definición , lo que prueba la afirmación. $\Gama$ $\Gama$ ${\ estilo de visualización [0, c]}$

Véase también

Función delta de Dirac
Eventos elementales , también conocidos como eventos atómicos .

Enlaces

↑ W. Sierpinski. Sur les fonctions d'ensemble aditivos et continúa Archivado el 15 de mayo de 2011 en Wayback Machine . Fundamenta Mathematicae, 3:240-246, 1922.
↑ Fryszkowski, Andrzej. Teoría del Punto Fijo para Conjuntos Descomponibles (Teoría Topológica del Punto Fijo y sus Aplicaciones ) . — Springer. - Pág. 39. - ISBN 1-4020-2498-3 .

Bruckner, Andrew M.; Bruckner, Judith B.; Thomson, Brian S. Análisis real . - Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall , 1997. - P. 108. - ISBN 0-13-458886-X .

Butnariu, Dan; Klement, EP Medidas triangulares basadas en normas y juegos con coaliciones difusas . - Dordrecht: Kluwer Academic , 1993. - P. 87 . - ISBN 0-7923-2369-6 .