Establecer poder

La potencia , o número cardinal , de un conjunto ( lat. cardinalis ← cardo “la circunstancia principal; base; corazón”) es una característica de los conjuntos (incluidos los infinitos ), generalizando el concepto de número (number) de elementos de un conjunto finito.

Este concepto se basa en ideas naturales sobre la comparación de conjuntos:

dos conjuntos cualesquiera, entre cuyos elementos se puede establecer una correspondencia uno a uno ( biyección ), contienen el mismo número de elementos (tienen la misma cardinalidad, son igualmente poderosos );
viceversa: los conjuntos equipotentes deben permitir tal correspondencia uno a uno;
una parte del conjunto no excede al conjunto completo en cardinalidad (es decir, en el número de elementos).

Antes de que se construyera la teoría de la potencia de los conjuntos, los conjuntos diferían en términos de características: vacíos/no vacíos y finitos/infinitos, y los conjuntos finitos también diferían en el número de elementos. No se pueden comparar conjuntos infinitos.

El poder de los conjuntos te permite comparar conjuntos infinitos. Por ejemplo, los conjuntos contables son los conjuntos infinitos "más pequeños".

La cardinalidad de un conjunto se denota por . A veces hay notaciones , y . $A$ $|A|$ $\overline {\overline {A}}$ $\#A$ ${\mathrm {tarjeta}}(A)$

Definición

Si se acepta como verdadero el axioma de elección , la cardinalidad de un conjunto se definirá formalmente como el menor número ordinal , bajo el cual se puede establecer una correspondencia biyectiva entre y . Esta definición también se llama la distribución de von Neumann de números cardinales . $\alfa$ $X$ $\alfa$

Si no aceptamos el axioma de elección, entonces se requiere un enfoque diferente. La primera definición de la cardinalidad de un conjunto (que está implícita en el trabajo de Cantor y se establece explícitamente en Frege y también en Principia Mathematica ) es la clase de todos los conjuntos que son equivalentes en cardinalidad . En los sistemas axiomáticos basados en la teoría ZFC , tal definición es inaplicable, porque para una colección no vacía , tal colección es demasiado grande para encajar en la definición de un conjunto. Más precisamente, si , entonces hay una aplicación inyectiva del conjunto universal en , bajo la cual cada conjunto va a , de donde, en virtud del axioma de la restricción de tamaño, se sigue que es una clase propia. Esta definición se puede utilizar en teoría de tipos y "nuevos fundamentos" , así como en sistemas axiomáticos relacionados. En el caso de ZFC, la definición se puede usar restringiendo la colección a conjuntos iguales con el rango más pequeño (este truco, propuesto por Dana Scott , funciona porque la colección de objetos que tienen un rango dado es un conjunto). $X$ $[X]$ $X$ $X$ $X\neq \varnada$ $[X]$ $metro$ $\{m\}\tiempo X$ $[X]$ $[X]$

El orden formal entre los números cardinales se presenta de la siguiente manera: significa que el conjunto se puede asignar inyectivamente a . Según el teorema de Cantor-Bernstein , se sigue del par de desigualdades y que . El axioma de elección es equivalente a la afirmación de que para cualquier conjunto y al menos una de las desigualdades o . $|X|\leq |Y|$ $X$ $Y$ $|X|\leq |Y|$ $|Y|\leq |X|$ $|X|=|Y|$ $X$ $Y$ $|X|\leq |Y|$ $|Y|\leq |X|$

Un conjunto se llama infinito según Dedekind si tiene un subconjunto propio tal que . En caso contrario, el conjunto se denomina finito de Dedekind. Los números cardinales finitos coinciden con los números naturales ordinarios o con el cero, es decir, el conjunto es finito si y sólo si para algún número natural o para (si el conjunto está vacío ). Todos los demás conjuntos son infinitos . Sujeto al axioma de elección, se puede probar que las definiciones de Dedekind coinciden con las estándar. Además, se puede probar que la cardinalidad del conjunto de los números naturales ( alef-cero , o aleph-0, - el nombre se deriva de la primera letra del alfabeto hebreo ) es el número cardinal infinitamente más pequeño, es decir , en todo conjunto infinito existe un subconjunto de cardinalidad . El número cardinal siguiente en orden se denota , y así sucesivamente, el número de alefs es infinito. Cualquier número ordinal corresponde a un número cardinal , y de esta manera se puede describir cualquier número cardinal infinitamente grande. $X$ $Y$ $|X|=|Y|$ $X$ $|X|=|n|=n$ $norte$ $n=0$ $\aleph_0$ $\aleph$ $\aleph_0$ $\aleph_1$ $\alfa$ $\aleph _{\alfa}$

Definiciones relacionadas

La cardinalidad del conjunto de números naturales se denota con el símbolo (" aleph - cero"). Un conjunto se llama infinito si su cardinalidad no es menor (no menor que la cardinalidad del conjunto de números naturales), por lo que los conjuntos contables son los "más pequeños" de los conjuntos infinitos. Se indican los siguientes números cardinales en orden ascendente (donde el índice recorre todos los números ordinales ). Entre los números cardinales, no hay mayor: para cualquier conjunto de números cardinales, hay un número cardinal que es mayor que todos los elementos de este conjunto. ${{\matemáticas N}}$ $\aleph_0$ $\aleph_0$ $\aleph_{1},\aleph_{2},\puntos \aleph_{\omega},\aleph_{{\omega +1}),\puntos \aleph_{{\omega_{1)) },\puntos$

Se dice que los conjuntos que son equivalentes al conjunto de todos los números reales tienen cardinalidad continua , y la cardinalidad de tales conjuntos se denota con el símbolo . La suposición que se llama la hipótesis del continuo . $\mathfrak{c}$ ${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}$

Para cardinalidades, como en el caso de conjuntos finitos, existen conceptos: "igualdad", "mayor", "menor". Es decir, para cualquier conjunto y solo uno de los tres es posible: $A$ $B$
1. $|A|=|B|$ , o y son equivalentes; $A$ $B$
2. $|A|>|B|$ , o más poderoso , es decir, contiene un subconjunto que es igualmente poderoso , pero no igualmente poderoso ; $A$ $B$ $A$ $B$ $A$ $B$
3. $|A|<|B|$ , o más poderoso ; en este caso, contiene un subconjunto que es equivalente a , pero no igualmente poderoso. $B$ $A$ $B$ $A$ $A$ $B$
- Una situación en la que y no son igualmente poderosos y, al mismo tiempo, ninguno de ellos tiene una parte equivalente al otro, es imposible. Esto se sigue del teorema de Zermelo . De lo contrario, esto significaría la existencia de poderes incomparables (lo que es posible en principio si no se acepta el axioma de elección ). $A$ $B$
- La situación en la que y es imposible por el teorema de Cantor-Bernstein . $|A|>|B|$ $|A|<|B|$
Los conjuntos y se denominan equivalentes si existe un mapeo uno a uno de un conjunto en un conjunto . [una] $A$ $B$ $A$ $B$

Ejemplos

Un conjunto se llama finito si es equivalente en potencia a un segmento de la serie natural para algún número entero no negativo . El número expresa el número de elementos en el conjunto finito. Para , el conjunto no contiene elementos (el conjunto vacío). Si , entonces no hay aplicación inyectiva de a ( principio de Dirichlet ), y por lo tanto no hay biyección entre ellos. Por lo tanto, los conjuntos y tienen cardinalidades diferentes. $I_{n}=\{1,2,...,n\}$ $norte$ $norte$ $n=0$ $m>n$ $Estoy}$ $En}$ $Estoy}$ $En}$

Un conjunto se llama contable si es equivalente al conjunto de todos los números naturales . Los conjuntos contables son: $\matemáticas {N}$
- Un conjunto para cualquier natural . Una coincidencia biyectiva que corresponde a : . ${\mathbb {N}}\setminus I_{k}$ $k$ $\matemáticas {N}$ ${\mathbb {N}}\setminus I_{k}$ $n\flecha derecha n+k$
- muchos _ Cumplimiento: . ${\mathbb {N}}\taza \{0\}$ $n\flecha derecha n-1$
- Conjunto de números enteros . Se obtiene una correspondencia si se comparan los términos de una serie infinita con sus sumas parciales (se toman los términos de la serie sin tener en cuenta el signo). $\matemáticas {Z}$ $0+1-2+3-4+5-6+\puntos$
- El conjunto de pares de números naturales . ${\mathbb {N}}\veces {\mathbb {N}}$
- El conjunto de números racionales se asigna inyectivamente a un conjunto (es decir, cualquier fracción irreducible de la forma inyectiva corresponde a un par de números ). Por tanto, el conjunto de los números racionales es a lo sumo numerable. Pero como contiene el conjunto de los números naturales, al menos es contable. En consecuencia, por el teorema de Cantor-Bernstein, es exactamente numerable. $\matemáticas {Q}$ ${\ matemáticas {Z}} \ veces {\ matemáticas {N}}$ $p/q$ $(p,q)\in {\mathbb {Z}}\times {\mathbb {N}}$

Los conjuntos infinitos que no son equivalentes al conjunto se llaman incontables. Según el teorema de Cantor , es incontable el conjunto de todas las sucesiones infinitas posibles compuestas por los números 0 y 1. La potencia de este conjunto se denomina continuo . $\matemáticas {N}$

La cardinalidad del conjunto de números reales es igual al continuo. $\matemáticas {R}$

Propiedades

Dos conjuntos finitos son equivalentes si y sólo si constan del mismo número de elementos . Es decir, para un conjunto finito, el concepto de potencia coincide con el concepto habitual de cantidad.
Para conjuntos infinitos, la cardinalidad del conjunto puede ser la misma que la cardinalidad de su propio subconjunto (es decir, no igual que el conjunto original), por ejemplo . $|{{\mathbb N}}|=|{\mathbb Z}|$
Además, un conjunto es infinito si y solo si contiene un subconjunto propio igualmente poderoso.
Cualquier conjunto infinito es equivalente al conjunto de todos sus subconjuntos finitos . [2] $A$
Teorema de Cantor : el booleano de cualquier conjunto A tiene mayor cardinalidad que A , es decir, . $|2^{A}|>|A|$
- En particular, para cualquier conjunto existe un conjunto más potente.
Usando el cuadrado de Cantor , también se puede probar lo siguiente: el producto cartesiano de un conjunto infinito A consigo mismo es equivalente al propio conjunto A.
La potencia del producto cartesiano: $|A\veces B|=|A|\cdot |B|$
Fórmula de inclusión-exclusión para dos y tres conjuntos: $|A\taza B|+|A\tapa B|=|A|+|B|$ $|A\taza B\taza C|+|A\tapa B|+|A\tapa C|+|B\tapa C|=|A|+|B|+|C|+|A\tapa B\cap C|$
Potencia de la diferencia simétrica de dos y tres conjuntos: $|A\bigtriangleup B|+2\cdot |A\cap B|=|A|+|B|$ $|A\bigtriangleup B\bigtriangleup C|+2|A\cap B|+2|A\cap C|+2|B\cap C|=|A|+|B|+|C|+3 |A\cap B\cap C|$

Aritmética de números cardinales

Las operaciones aritméticas ordinarias sobre números naturales se pueden generalizar al caso de los números cardinales. También se puede demostrar que en el caso de números cardinales finitos estas operaciones coinciden con las correspondientes operaciones aritméticas sobre números. Además, las operaciones con números cardinales conservan muchas de las propiedades de las operaciones aritméticas ordinarias.

El siguiente número cardinal es

Si aceptamos el axioma de elección, entonces para cada número cardinal es posible determinar el número que le sigue , y no hay otros números cardinales entre y . Si , por supuesto, entonces el siguiente número cardinal en orden es el mismo que . En el caso de infinito, el siguiente número cardinal es diferente del siguiente número ordinal. $\kappa$ $\kappa ^{+}>\kappa$ $\kappa$ $\kappa ^{+}$ $\kappa$ $\kappa +1$ $\kappa$

V denota el número cardinal anterior para el número, si existe; de lo contrario, . ${\ estilo de visualización \ kappa ^ {-}}$ $\kappa$ ${\ estilo de visualización \ kappa ^ {-} = \ kappa}$

Adición de números cardinales

Si los conjuntos y no tienen elementos comunes, entonces la suma de las cardinalidades está determinada por la cardinalidad de su unión . Si hay elementos comunes, los conjuntos originales se pueden reemplazar por conjuntos que no se intersecan de la misma cardinalidad, por ejemplo, reemplazando con y con . $X$ $Y$ $X$ $X\veces\{0\}$ $Y$ $Y\veces\{1\}$

Neutralidad cero con respecto a la suma:

\kappa +0=0+\kappa=\kappa

Asociatividad :

(\kappa +\mu )+\nu =\kappa +(\mu +\nu )

Conmutatividad :

\kappa +\mu =\mu +\kappa

Monotonicidad (no decreciente) de la suma en ambos argumentos:

\kappa \leq \mu \rightarrow \kappa +\nu \leq \mu +\nu .

\kappa \leq \mu \rightarrow \nu +\kappa \leq \nu +\mu .

Si el axioma de elección se acepta como verdadero, entonces se puede calcular fácilmente la suma de dos números cardinales infinitos. Si uno de los números o es infinito, entonces $\kappa$ $\mu$

\kappa +\mu =\max\{\kappa ,\mu \}\,.

Resta

Sujeto al axioma de elección, para cualquier número cardinal infinito y número cardinal arbitrario , la existencia de , para la cual , es equivalente a la desigualdad . Esto es único (y coincide con ) si y solo si . $\sigma$ $\mu$ $\kappa$ $\mu+\kappa=\sigma$ $\mu \leq \sigma$ $\kappa$ $\sigma$ $\mu <\sigma$

Multiplicación de números cardinales

El producto de dos números cardinales se expresa en términos del producto cartesiano de conjuntos: $|X|\cdot |Y|=|X\veces Y|$

Cero propiedades:

\kappa \cdot 0=0\cdot \kappa =0

\kappa \cdot \mu =0\rightarrow \kappa =0\lor \mu =0

Neutralidad de la unidad con respecto a la multiplicación:

\kappa \cdot 1=1\cdot \kappa =\kappa

Asociatividad :

(\kappa\cdot\mu)\cdot\nu =\kappa\cdot (\mu\cdot\nu)

Conmutatividad :

\kappa \cdot \mu =\mu \cdot \kappa

Monotonicidad (no decreciente) de la multiplicación con respecto a ambos argumentos:

\kappa \leq \mu \rightarrow \kappa \cdot \nu \leq \mu \cdot \nu .

\kappa \leq \mu \rightarrow \nu \cdot \kappa \leq \nu \cdot \mu .

Distributividad de la multiplicación con respecto a la suma:

\kappa \cdot (\mu +\nu )=\kappa \cdot \mu +\kappa \cdot \nu

(\mu +\nu )\cdot \kappa =\mu \cdot \kappa +\nu \cdot \kappa

Por analogía con la suma, el producto de dos números cardinales infinitos se puede calcular fácilmente respetando el axioma de elección. Si los números y son diferentes de cero y al menos uno de ellos es infinito, entonces $\kappa$ $\mu$

\kappa \cdot \mu =\max\{\kappa ,\mu \}\,.

División

Sujeto al axioma de elección, para cualquier par de números cardinales y , donde es infinito y no igual a cero, la existencia de , para lo cual , es equivalente a la desigualdad . Esto es único (y coincide con ) si y solo si . $\Pi$ $\mu$ $\Pi$ $\mu$ $\kappa$ $\mu \cdot \kappa=\pi$ $\mu \leq \pi$ $\kappa$ $\Pi$ $\mu <\pi$

Exponenciación de números cardinales

La exponenciación se define de la siguiente manera:

|X|^{{|Y|}}=|X^{Y}|

donde denota el conjunto de todas las funciones desde hasta . $X^{Y}$ $Y$ $X$

\kappa^{0}=1

(en particular, ), véase Función vacía

0^{0}=1

1\leq\mu\rightarrow 0^{\mu}=0

1^{\mu}=1

\kappa ^{1}=\kappa

\kappa ^{{\mu +\nu }}=\kappa ^{\mu }\cdot \kappa ^{\nu }

\kappa ^{{\mu \cdot \nu }}=(\kappa ^{\mu })^{\nu }

(\kappa \cdot \mu )^{\nu }=\kappa ^{\nu }\cdot \mu ^{\nu }

Monótono:

{\displaystyle (1\leq \nu \land \kappa \leq \mu )\rightarrow \nu ^{\kappa }\leq \nu ^{\mu ))

\kappa \leq \mu \rightarrow \kappa ^{\nu }\leq \mu ^{\nu }

Tenga en cuenta cuál es la potencia del booleano y, por lo tanto, para cualquier conjunto (consulte el método diagonal de Cantor ). Esto implica que entre los números cardinales no existe el mayor (ya que para cualquier número cardinal se puede especificar un número mayor ). De hecho , la clase de todos los números cardinales es propia (aunque en algunos sistemas de axiomas de la teoría de conjuntos esto no se puede probar - tal, por ejemplo, es el sistema de "Nuevos Fundamentos" ). $2^{{|X|}}$ $X$ $2^{{|X|}}>|X|$ $X$ $\kappa$ $2^{\kappa}$

Todas las declaraciones subsiguientes en esta sección se basan en el axioma de elección.

Si y son números finitos mayores que 1 y es un número cardinal infinito, entonces Si el número cardinal es infinito y finitamente diferente de cero, entonces . $\kappa$ $\mu$ $\nu$ ${\ estilo de visualización \ kappa ^ {\ nu} = \ mu ^ {\ nu}.}$ $\kappa$ $\mu$ $\kappa ^{\mu}=\kappa$

Si y , y al menos uno de ellos es infinito, entonces $\kappa \geq 2$ $\mu \geq 1$

{\displaystyle \max\{\kappa ,2^{\mu }\}\leq \kappa ^{\mu }\leq \max\{2^{\kappa },2^{\mu }\))

Usando el teorema de König , se puede probar que para cualquier número cardinal infinito se cumplen las siguientes desigualdades: $\kappa$

{\displaystyle \kappa </kappa ^{\operatorname {cf} (\kappa )))

{\ estilo de visualización \ kappa <\ nombre del operador {cf} (2^{\ kappa})}

donde denota confinalidad . ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {cf} (\ kappa)}$ $\kappa$

Extracción de raíces

Si observamos el axioma de elección, entonces para todo cardinal infinito y cardinal finito existe un número cardinal tal que , y . $\kappa$ $\mu>0$ $\nu$ $\nu ^{\mu}=\kappa$ $\nu=\kappa$

Logaritmos

Sujeto al axioma de elección, no siempre existe un número cardinal que satisfaga la condición , dado infinito y finito . Si tal existe, entonces es infinito y menor que , y cualquier número cardinal finito también satisfará la igualdad . $\lambda$ $\mu ^{\lambda }=\kappa$ $\kappa$ $\mu>1$ $\lambda$ $\kappa$ $\nu>1$ $\nu ^{\lambda }=\kappa$

El logaritmo de un número cardinal infinito es el número cardinal más pequeño que satisface la condición . A pesar de que los logaritmos de números cardinales infinitamente grandes carecen de algunas de las propiedades que son características de los logaritmos de números reales positivos, resultan útiles en ciertas áreas de las matemáticas, en particular, en el estudio de los invariantes cardinales de topológicos. espacios. $\kappa$ $\mu$ $\kappa \leq 2^{\mu}$

Hipótesis del continuo

De acuerdo con la hipótesis del continuo , no hay otros números cardinales entre y . El número cardinal también se denota y representa la cardinalidad del continuo (es decir, el conjunto de los números reales ). En este caso La hipótesis del continuo generalizado niega la existencia de números cardinales estrictamente entre y para cualquier conjunto infinito de . La hipótesis del continuo es independiente de la axiomatización estándar de la teoría de conjuntos, es decir, el sistema de axiomas de Zermelo-Fraenkel combinado con el axioma de elección (ver teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel ). $\aleph_0$ $2^{\aleph_0}$ $2^{\aleph_0}$ $\mathfrak{c}$ $2^{{\aleph _{0}}}=\aleph _{1}$ $|X|$ $2^{{|X|}}$ $X$

Véase también

Número ordinal

Notas

↑ Melnikov O. V., Remeslenikov V. N. , Romankov V. A. Álgebra general. Volumen 1. - M., Nauka, 1990. - p. 31
↑ Melnikov O. V., Remeslenikov V. N. , Romankov V. A. Álgebra general. Volumen 1. - M., Nauka, 1990. - p. 32

Literatura

A. A. Bolibrukh, Los problemas de Hilbert (100 años después), Capítulo 2 El primer problema de Hilbert: la hipótesis del continuo Archivado el 3 de junio de 2004 en Wayback Machine , Mathematical Education Library, Número 2
R. Courant, G. Robbins, ¿Qué son las matemáticas? Capítulo II, § 4.
Curso optativo de matemáticas. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaya. - M .: Educación , 1991. - S. 109-110. — 383 pág. — ISBN 5-09-001287-3 .
Brudno A. L. Teoría de funciones de variable real. - M. : Nauka, 1971. - 119 p.

Sistemas numéricos
Conjuntos contables	Números naturales ( ) $\scriptstyle \mathbb {N}$ Enteros ( ) $\scriptstyle \mathbb {Z}$ Racional ( ) $\scriptstyle \mathbb {Q}$ algebraico ( ) $\scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}$ Períodos Calculable Aritmética
Números reales y sus extensiones.	reales ( ) $\scriptstyle \mathbb {R}$ Complejo ( ) $\scriptstyle \mathbb {C}$ Cuaterniones ( ) $\scriptstyle \mathbb {H}$ Números de Cayley (octavas, octoniones) ( ) $\scriptstyle \mathbb {O}$ Sedeniones ( ) $\scriptstyle \mathbb {S}$ Alterniones Doble Hipercomplejo superrealista hipermaterial surrealista
Herramientas de extensión numérica	procedimiento de Cayley-Dixon teorema de frobenius teorema de Hurwitz
Otros sistemas numéricos	Numeros cardinales Números ordinales (transfinitos, ordinales) p-ádico Números sobrenaturales números de intervalo
ver también	números dobles Numeros irracionales numeros trascendentales haz de números bicuaternión