Singleton (matemáticas)

Singelton [1] [2] , o singleton  es un conjunto con un solo elemento. Por ejemplo, el conjunto {0} es un singleton.

Propiedades

Tenga en cuenta que el conjunto {{1, 2, 3}} también es un singleton: el único elemento es un conjunto (que en sí mismo no es un singleton).

Un conjunto nítido es un singleton si y solo si su número cardinal es 1. En la construcción teórica de conjuntos de números naturales , el número 1 se define como un singleton { }, o en otra notación {{}}.

En la teoría axiomática de conjuntos, la existencia de singletons aparece debido al axioma del conjunto vacío y al axioma de emparejamiento : el primero de ellos introduce el concepto de conjunto vacío {}, y el segundo, aplicado al par {} y {}, introduce el concepto de singleton {{}}.

Si A es cualquier conjunto y S es cualquier singleton, entonces hay una y solo una función de A a S que asigna cada elemento de A a un solo elemento de S.

Aplicaciones

En topología , un espacio es un espacio T1 si y solo si todos los singleton están cerrados .

Las estructuras construidas sobre singletons a menudo sirven como objetos terminales u objetos nulos de varias categorías :

• la afirmación anterior muestra que los conjuntos singleton son objetos terminales en la categoría Conjunto ;
• cualquier singleton se puede transformar en un espacio topológico exactamente de una manera (todos los subconjuntos están abiertos). Estos espacios topológicos singleton son objetos terminales en la categoría de espacios topológicos y mapeos continuos;
• cualquier singleton se puede convertir en un grupo exactamente de una manera (un solo elemento sirve como elemento neutral ). Tales grupos singleton son objetos nulos en la categoría de grupos y homomorfismos de grupos.

Véase también

• Clase (teoría de conjuntos)

Notas

1. ↑ Nazarov D. M., Konysheva L. K. Sistemas inteligentes: fundamentos de la teoría de conjuntos borrosos, 2019 , p. 13
2. ↑ Matsievsky S. V., Tolstel O. V. Fuzzy systems, 2017 , p. quince.

Literatura

• Matsievsky S.V., Tolstel O.V. Sistemas difusos: libro de texto / Ed. 2º, rev. y adaptarse Kaliningrado: Izd-vo BFU im. I. Kana, 2017. 89 p., il. ISBN 978-5-9971-0465-8 .
• Nazarov D. M., Konysheva L. K. Sistemas inteligentes: fundamentos de la teoría de conjuntos borrosos: libro de texto para estudiantes académicos de pregrado / 3ra ed., corregida. y adicional M.: Yurait Publishing House, 2019. 186 p., il. ISBN 978-5-534-07496-3 .