Clasificación afín de un cubo.

Isaac Newton recibió dos clasificaciones del cubo [1] [2] . En base a la segunda clasificación [2] , se obtuvo una clasificación afín de los cubos [3] . Esta clasificación se describe en el siguiente teorema.

Teorema. Hay 59 familias de clases de equivalencia afines de cúbicas irreducibles : 15 clases de modalidad 0; 23 familias (clases) de modalidad 1; 16 familias de modalidad 2; 5 familias de modalidad 3; estas familias están representadas en la siguiente lista de ecuaciones canónicas.

El orden de enumeración de familias de clases afines pertenece a Newton, por conveniencia se mantiene en esta lista. Cada elemento de la lista contiene la dimensión del conjunto de cubos pertenecientes a esta familia de clases afines. Por ejemplo, cada cubo de la clase afín con número 1.1 es equivalente por afinidad al cubo , el conjunto de cubos de esta clase en el espacio de todos los cubos tiene dimensión , y cada cubo de la familia de clases afines con número 1.7 es equivalente por afinidad a uno de los cubos de la familia uniparamétrica , donde , el conjunto de cubos de esta familia en el espacio de todo el cubo tiene dimensión . ${\ estilo de visualización y^{2}=x^{3}}$ $\mathbb {R} P^{9}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 5}$ $(x-1)y^{2}-ax^{2}y+x^{3}=0$ ${\ estilo de visualización 0 <a <2}$ $\mathbb {R} P^{9}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 7}$

Clases derivadas de cubos con cúspide, ver fig. una.

1.1. ; . ${\ estilo de visualización y^{2}=x^{3}}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 5}$

1.2. ; . ${\ estilo de visualización y = x ^ {3}}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 5}$

1.3. ; . ${\ estilo de visualización x ^ {2} y = 1}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 6}$

1.4. ; . ${\ estilo de visualización x ^ {2} y = 1-x}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 6}$

1.5. ; . ${\ estilo de visualización (x-1) y^{2}+x^{3}=0}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 6}$

1.6. ; . ${\ estilo de visualización (x + 1) y ^ {2} = x ^ {3))$ ${\ estilo de visualización \ dim = 6}$

1.7. , donde ; . $(x-1)y^{2}-ax^{2}y+x^{3}=0$ ${\ estilo de visualización 0 <a <2}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 7}$

1.8. ; . ${\ estilo de visualización y^{2}-x^{2}yx^{3}=0}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 6}$

1.9. , donde ; . $(x+1)y^{2}-ax^{2}y+x^{3}=0$ $a > 0$ ${\ estilo de visualización \ dim = 7}$

Clases derivadas de un cubo con un bucle, ver fig. 2.

2.1. ; . ${\ estilo de visualización y^{2}=x^{2}(x+1)}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 6}$

2.2. , donde ; . $\left(1-{\frac {x}{a}}\right)y^{2}=x^{2}\left(x+1\right)$ $a > 0$ ${\ estilo de visualización \ dim = 7}$

2.3. ; . ${\displaystyle \left(1-x\right)y^{2}=x^{2))$ ${\ estilo de visualización \ dim = 6}$

2.4. , donde ; . $\left(1-{\frac {x}{a}}\right)y^{2}=x^{2}\left(1-x\right)$ ${\ estilo de visualización 0 <a <1}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 6}$

2.5. ; . ${\ estilo de visualización (x + 1) (x-1) y + 1 = 0}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 6}$

2.6. , donde ; . $\left({\frac {x}{a}}+1\right)y^{2}=x^{2}\left(x+1\right)$ ${\ estilo de visualización a> 1}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 7}$

2.7. , donde y ; . $\left(x-1\right)y^{2}=bx(x+a)(yx)$ $a > 0$ ${\ estilo de visualización 0 \ leq b <4}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 8}$

2.8. , donde ; . $(x-1)y^{2}=ax(yx)$ $a > 0$ ${\ estilo de visualización \ dim = 7}$

2.9. ; . ${\ estilo de visualización xy = (x-1) ^ {3))$ ${\ estilo de visualización \ dim = 6}$

2.10. , donde ; . $(x-1)y^{2}=ax(yx)$ ${\ estilo de visualización a <-4}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 7}$

2.11. , donde y ; . $\left(1-x\right)y^{2}=bx\left(xa\right)\left(yx\right)$ ${\ estilo de visualización a> 1}$ ${\ estilo de visualización b> 0}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 8}$

2.12. , donde ; . ${\ estilo de visualización (x + 1) (xa) y + x = 0}$ $a > 0$ ${\ estilo de visualización \ dim = 7}$

2.13. , donde y ; . ${\ estilo de visualización (x + 1) (xa) y + x ^ {2} = 0}$ $a > 0$ ${\ estilo de visualización a \ neq 1}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 7}$

2.14. , donde y ; . $\left({\frac {x}{a}}+1\right)y^{2}-bx^{2}y=x^{2}\left(x+1\right)$ $a > 0$ ${\ estilo de visualización b> 0}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 8}$

Clases derivadas de cubos con un punto aislado, ver fig. 3, donde los cubos de las familias de los números 3.1, 3.2, 3.4 - 3.8, 3.10 - 3.12 tienen un punto aislado en el origen de coordenadas y los cubos de las familias de los números 3.3 y 3.9 tienen un punto aislado en el punto de intersección de la recta y la recta en el infinito , es decir en un punto con coordenadas proyectivas . ${\ estilo de visualización O = (0,0)}$ $x=0$ ${\ estilo de visualización z = 0}$ ${\ estilo de visualización (0: 1: 0)}$

3.1. ; . ${\ estilo de visualización y^{2}=x^{2}(x-1)}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 6}$

3.2. , donde ; . $\left(1-{\frac {x}{a}}\right)y^{2}=x^{2}\left(x-1\right)$ ${\ estilo de visualización a> 1}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 7}$

3.3. ; . ${\ estilo de visualización (x ^ {2} + 1) y = x ^ {2}}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 6}$

3.4. , donde ; . $\left({\frac {x}{a}}+1\right)y^{2}=-x^{2}\left(x+1\right)$ ${\ estilo de visualización 0 <a <1}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 7}$

3.5. ; . ${\displaystyle \left(x+1\right)y^{2}=-x^{2))$ ${\ estilo de visualización \ dim = 6}$

3.6. , donde ; . $\left({\frac {x}{a}}+1\right)y^{2}=x^{2}\left(x-1\right)$ $0<a<{\frac{1}{3))$ ${\ estilo de visualización \ dim = 7}$

3.7. ; . $\left(3x+1\right)y^{2}=x^{2}\left(x-1\right)$ ${\ estilo de visualización \ dim = 6}$

3.8. , donde ; . $\left({\frac {x}{a}}+1\right)y^{2}=x^{2}\left(x-1\right)$ $a>{\frac{1}{3}}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 7}$

3.9. , donde ; . $y(x^{2}+ax+1)=x$ ${\ estilo de visualización 0 \ leq a <2}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 7}$

3.10. , donde y ; . $(1-x)y^{2}+bx(xa)(yx)=0$ ${\ estilo de visualización 0 <a <1}$ ${\ estilo de visualización 0 <b <4}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 8}$

3.11. , donde ; . $(x+1)y^{2}+ax(y+x)=0$ ${\ estilo de visualización 0 <a <4}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 7}$

3.12. , donde , y ; . $\left(x+1\right)y^{2}-bx(xa)(y+x)=0$ $a > 0$ ${\ estilo de visualización b> 0}$ $a<{\frac {(a+1)(b+2-{\sqrt {b^{2}+4b)))}{2(b+4)-(a+1)\left( b+2+{\raíz cuadrada {b^{2}+4b}}\derecha)}}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 8}$

Clases derivadas de cubos simples, ver fig. cuatro

4.1. , donde ; . $y^{2}=x\left[\left(xa\right)^{2}+1\right]$ $a\en \mathbb {R}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 7}$

4.2. , donde y ; . $xy^{2}=-(x+a)\left[\left(xb\right)^{2}+1\right]$ $a > 0$ $b\en \mathbb {R}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 8}$

4.3. , donde ; . $xy^{2}=-\left[\left(xa\right)^{2}+1\right]$ $a\en \mathbb {R}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 7}$

4.4. , donde y ; . $xy^{2}=-(xa)\left[\left(xb\right)^{2}+1\right]$ $a > 0$ $b<{\frac{a^{2}-4}{4a))$ ${\ estilo de visualización \ dim = 8}$

4.5. , donde ; . $xy^{2}=-(xa)\left[\left(x-{\frac {a^{2}-4}{4a}}\right)^{2}+1\right]$ $a > 0$ ${\ estilo de visualización \ dim = 7}$

4.6. , donde y ; . $xy^{2}=-(xa)\left[\left(xb\right)^{2}+1\right]$ $a > 0$ $b>{\frac{a^{2}-4}{4a))$ ${\ estilo de visualización \ dim = 8}$

4.7. , donde , y ; . $xy^{2}=c[(xa)^{2}+1](y+xb)$ $a\en \mathbb {R}$ ${\ estilo de visualización b \ geq 0}$ ${\ estilo de visualización -4<c<0}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 9}$

4.8. , donde , y ; . $xy^{2}=-4[(xa)^{2}+1](y+xb)$ $a\en \mathbb {R}$ ${\ estilo de visualización b \ geq 0}$ ${\ estilo de visualización b \ neq 2a}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 8}$

4.9. , donde , , , , , , y ; . $xy^{2}=c[(xa)^{2}+1](y+xb)$ $a\en \mathbb {R}$ ${\ estilo de visualización b \ geq 0}$ ${\ estilo de visualización {\ sqrt {c (c + 4) (a ^ {2} + 1)}}<ac-2b}$ $0<c<2\left[a^{2}-ab+1+{\sqrt {(a^{2}-ab+1)^{2}+b^{2))}\right ]$ ${\frac {ac+2b+{\sqrt {(ac+2b)^{2}-c(c+4)(a^{2}+1)}}}{c+4}}<{ \frac {(c+4)(a^{2}+1)(\beta-b)}{(2a-b)^{2}-(c+4)(a^{2}+1)( \alfa +1)}}$ ${\sqrt {c(c+4)(a^{2}+1)}}<ac+2b$ $\alpha ={\frac {c-{\sqrt {c^{2}+4c}}}{2}}$ $\beta =-c\left[a-{\frac {a(c+2)+b}{\sqrt {c^{2}+4c))}\right]$ ${\ estilo de visualización \ dim = 9}$

Clases derivadas de cubos con un óvalo, ver fig. 5.

5.1. , donde ; . ${\ estilo de visualización y ^ {2} = x (x + 1) (x + a)}$ $a>1$ ${\ estilo de visualización \ dim = 7}$

5.2. , donde ; . $xy^{2}=-(x+1)(x+a)(x+b)$ ${\ estilo de visualización 1 <a <b}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 8}$

5.3. , donde ; . $xy^{2}=-(x+1)(x+a)$ $a>1$ ${\ estilo de visualización \ dim = 7}$

5.4. , donde y ; . $xy^{2}=-(x+a)(x+1)(xb)$ $a>1$ $b>0$ ${\ estilo de visualización \ dim = 8}$

5.5. , donde ; . $xy^{2}=(x+1)(xa)$ $a>0$ ${\ estilo de visualización \ dim = 7}$

5.6. , donde ; . $xy^{2}=-(x+1)(xa)(xb)$ ${\ estilo de visualización 0 <a <b}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 8}$

5.7. , donde ; . $xy^{2}=-(x-1)(xa)$ $a>1$ ${\ estilo de visualización \ dim = 7}$

5.8. , donde y ; . ${\ estilo de visualización xy ^ {2} = (xa) (x-1) (xb)}$ ${\ estilo de visualización 0 <a <1 <b}$ $b>({\sqrt {a}}+1)^{2}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 8}$

5.9. , donde ; . $xy^{2}=(xa)(x-1)[x-({\sqrt {a}}+1)^{2}]$ $0<a<1$ ${\ estilo de visualización \ dim = 7}$

5.10. , donde y ; . ${\ estilo de visualización xy ^ {2} = (xa) (x-1) (xb)}$ ${\ estilo de visualización 0 <a <1 <b}$ $b<({\sqrt {a}}+1)^{2}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 8}$

5.11. , donde , y ; . $xy^{2}=c(x+1)(x+a)(x+yb)$ $a>1$ ${\ estilo de visualización b> -1}$ ${\ estilo de visualización -4<c<0}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 9}$

5.12. , donde y ; . $xy^{2}=b(x+1)(x+ya)$ ${\ estilo de visualización a> -1}$ $b\in {\matemáticas {R}}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 8}$

5.13. , donde , y ; . $xy^{2}=c(x+1)(xa)(x+yb)$ $a>0$ ${\ estilo de visualización -1 <b <a}$ $c>0$ ${\ estilo de visualización \ dim = 9}$

5.14. , donde y ; . $xy^{2}=-4(x+1)(x+a)(x+yb)$ $a>1$ ${\ estilo de visualización b> -1}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 8}$

5.15. , donde , , , , , ; . $xy^{2}=c(xa)(x-1)(x+yb)$ ${\ estilo de visualización 0 <a <1 <b}$ $c>0$ ${\frac {ac\left(\beta -b\right)}{\beta ^{2}-c\left[a\left(\alpha +1\right)-(a+1)\left (\beta -b\right)\right]}}>{\frac {c(a+1)+4b+{\sqrt {\mathcal {D}}}}{2(c+4)))$ ${\mathcal {D}}=[c(a-1)+4b]^{2}+16c(ba)$ $\alpha ={\frac {c-{\sqrt {c^{2}+4c}}}{2}}$ $\beta ={\frac {c\left[b+(a+1)\left(\alpha +1\right)\right]}{c-2\alpha }}$ ${\ estilo de visualización \ dim = 9}$

Véase también

Literatura

↑ Newton I. "Enumeratio linearum tertii ordinis". - en "Los artículos matemáticos de Isaac Newton" (DT Whiteside, ed.): Cambridge Univ. Prensa , V. 7, 1976, págs. 565-645. Traducción rusa "Enumeración de curvas de tercer orden" en Isaac Newton, "Mathematical Works" (traducido del latín por D. D. Morduchai-Boltovsky ), 1937, pp. 194-209, disponible página por página en línea en Copia archivada (inaccesible enlace) . Fecha de acceso: 8 de febrero de 2016. Archivado desde el original el 12 de junio de 2008. . (indefinido)
↑ 1 2 Newton I. "El dúo final 'Geometriæ libri'". - en "Los artículos matemáticos de Isaac Newton" (DT Whiteside, ed.): Cambridge Univ. Prensa , V. 7, 1976, págs. 402-469.
↑ Korchagin A. B., Clasificaciones newtonianas y afines de cubos que no se descomponen, Algebra i Analiz, Vol. 24(2012), No. 5, págs. inglés trad.: Korchagin AB, clasificaciones newtonianas y afines de cúbicas irreducibles, St. Matemáticas de Petersburgo. J., vol. 24, 2013, págs. 759-781.