Clasificación del cubo de Newton

Newton hizo al menos tres intentos de estudiar los cubos y obtuvo dos clasificaciones del cubo. El primer intento se hizo a fines de 1667 o principios de 1668 . Terminó con la redacción del artículo [1] .

La primera clasificación de cubos fue publicada por Newton en 1704 en [2] . Describió 72 cubos. Posteriormente, J. Stirling [3] agregó 4 cubos, luego F. Nicole [4] agregó 2 cubos más. Las imágenes de los cubos agregados se pueden encontrar en el artículo [5] . Esta clasificación de Newton era ampliamente conocida [6] . Una discusión detallada de la clasificación se puede encontrar en el artículo de revisión [7] .

En [2] , Newton señaló que para cualquier cubo, puede elegir un sistema de coordenadas de tal manera que tenga una de las siguientes cuatro ecuaciones:

$xy^{2}+ey=ax^{3}+bx^{2}+cx+d;$
$xy=ax^{3}+bx^{2}+cx+d;$
$y^{2}=ax^{3}+bx^{2}+cx+d;$
$y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d.$

Newton exploró estas ecuaciones estudiando las condiciones impuestas a sus coeficientes. Como resultado, los cubos se subdividieron en 14 géneros y 78 tipos. Distinguió cubos con diferentes arreglos de los componentes de la curva en relación con sus asíntotas (si la curva los tiene). Newton no definió clases de equivalencia cúbica, y en este sentido su clasificación no es rigurosa. Si continuamos con la idea de Newton y clasificamos los cubos junto con sus asíntotas, definiendo la clase de equivalencia según la regla: dos cubos son equivalentes si sus uniones con sus asíntotas son isotópicas, y la ubicación de los puntos de inflexión del cubo se conserva bajo isotopía , luego obtenemos una clasificación completa que contiene 99 tipos (los 21 tipos que faltan se describen en el apéndice del artículo de revisión [5] ).

La segunda clasificación la obtuvo Newton en su manuscrito inédito [8] . Esta clasificación es una clasificación de secciones de conos cúbicos. Contiene 59 secciones.

Newton comienza con cinco cubos estándar:

cubo con una cúspide - ; ${\ estilo de visualización y^{2}=x^{3}}$
cubo con un bucle - ; ${\ estilo de visualización y^{2}=x^{2}(x+1)}$
un cubo con un punto aislado - ; ${\ estilo de visualización y^{2}=x^{2}(x-1)}$
cubo simple - ; ${\ estilo de visualización y^{2}=x[(x-1)^{2}+1]}$
cubo ovalado . ${\ estilo de visualización y ^ {2} = x (x + 1) (x + 2)}$

Para cada uno de estos cinco cubos, describe sus posiciones relativas con líneas rectas, a las que llama horizontales, ver fig. UNA.

Entonces Newton considera cinco conos cúbicos, cuyas guías son estos cubos estándar, ver fig. b.

Además, para cada horizontal seleccionada, considera un plano auxiliar que pasa por esta horizontal y la parte superior del cono. Finalmente, dibuja un plano arbitrario paralelo al plano auxiliar, que corta al cono a lo largo de la sección requerida. Cuando esta sección se proyecta desde la parte superior del cono, la horizontal se mapea en la línea recta del plano de la sección en el infinito. Esto significa que elegir una horizontal es equivalente a elegir una línea recta en el infinito. En la fig. A, se conserva la numeración newtoniana de las curvas de nivel. Tenga en cuenta que, en primer lugar, en todas las figuras A.1 - A.5, la horizontal con el número 1 es la línea en el infinito para el plano afín dibujado, y en segundo lugar, en la fig. A.3, A.4 y A.5 las horizontales con los números 7, 5 y 9, respectivamente, cortan al cubo en tres puntos de inflexión (uno de ellos en el infinito).

Como resultado de estas construcciones, Newton obtiene:

9 secciones de cubos con cúspide; 14 secciones de un cubo con un bucle, 12 secciones de cubos con un punto aislado, 9 secciones de un cubo simple, 15 secciones de cubos con un óvalo.

Hay 59 secciones en total.

Arroz. 1: Secciones newtonianas obtenidas a partir de cubos con cúspide
Arroz. 2: Secciones newtonianas obtenidas de un cubo con un lazo
Arroz. 3: Secciones newtonianas obtenidas a partir de cubos con un punto aislado
Arroz. 4: Secciones newtonianas obtenidas a partir de un cubo simple
Arroz. 5: Secciones newtonianas obtenidas a partir de cubos con un óvalo

Del texto del manuscrito de Newton se deduce que las clases de equivalencia que describe están sujetas a la siguiente definición moderna.

Sea un mapa afín del plano proyectivo, para el cual la línea se elige como la línea en el infinito, sean cubos afines. Se dice que los cubos tienen la misma sección cúbica si existe una isotopía de tripletes tal que $\mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} P^{2}\setminus L$ $L$ ${\displaystyle C_{0},C_{1}\subconjunto \mathbb {R} ^{2))$ ${\ estilo de visualización C_ {0}, C_ {1}}$ $F_{t}:(\mathbb {R} P^{2},C_{0}\cup L,L)\to (\mathbb {R} P^{2},C_{1}\cup L,L)$

pues toda imagen de reducción es la unión de un cubo que no se desintegra y una línea recta; ${\ estilo de visualización t \ en [0,1]}$ ${\displaystyle F_{t}{\grande |}_{C_{0}\taza L))$
si es un punto regular del cubo , o su punto de inflexión, o su punto singular, entonces cada punto del camino es, respectivamente, el mismo punto del cubo . ${\ estilo de visualización x \ en C_ {0}}$ $C_{0}$ $F_{t}{\grande |}_{x}$ $Connecticut}$

En el manuscrito [8], Newton describió verbalmente estas clases. Aparentemente, las figuras de secciones cúbicas se publicaron por primera vez en un artículo de revisión [5] . Se presentan aquí en una nueva edición.

Utilizando la clasificación newtoniana de las secciones cúbicas, A. B. Korchagin [9] obtuvo una clasificación afín de las cúbicas .

Véase también

Literatura

↑ Newton I. Análisis de las propiedades de las curvas cúbicas y su clasificación por especies // Los artículos matemáticos de Isaac Newton / ed. D. T. Whiteside. — Universidad de Cambridge. Prensa , 1968. - Vol. 2. - S. 3-89.
↑ 1 2 Newton I. Enumeratio linearum tertii ordinis // Los artículos matemáticos de Isaac Newton / ed. D. T. Whiteside. — Universidad de Cambridge. Prensa , 1976. - V. 7. - S. 565-645. Traducción rusa "Enumeración de curvas de tercer orden" en el libro de Isaac Newton, "Mathematical Works" (traducido del latín por D. D. Morduchai-Boltovsky ), 1937, p. 194-209, disponible página por página en línea en Copia archivada (enlace no disponible) . Fecha de acceso: 8 de febrero de 2016. Archivado desde el original el 12 de junio de 2008. (indefinido)
↑ Stirling J., Lineae tetrii ordinis Newtonianae, 1717.
↑ Nicole F., Mémoires de l'Acade ́mie Royale des Sciences. Anne e, MDCCXXXI, para 1731, París, 1733.
↑ 1 2 3 Korchagin A. B., Weinberg D. A. Conos cuadráticos, cúbicos y cuárticos, Rocky Mountain J. Math., vol. 35 (2005), nº 5, pág. 1627-1656.
↑ Matemáticas. enciclo diccionario. Artículo "Clasificación de Newton". - M . : Sov. Encicl., 1988,. - S. 421.
↑ Ball, W. W. Rouse, Sobre la clasificación de Newton de las curvas cúbicas, Proc. Matemáticas de Londres. Soc., vol. 50 (1891), pág. 104-143.
↑ 1 2 Newton I. The final 'Geometriæ libri duo' // Los artículos matemáticos de Isaac Newton / ed. D. T. Whiteside. — Universidad de Cambridge. Prensa , 1976. - T. 7. - S. 402-469.
↑ Korchagin A. B., Clasificación newtoniana y afín de cubos que no se desintegran, Algebra i Analiz, Vol. 24 (2012), No. 5, p. 94–123. inglés trad.: Korchagin A. B., clasificaciones newtonianas y afines de cúbicas irreducibles, St. Matemáticas de Petersburgo. J., vol. 24, 2013, págs. 759-781.