Filtro (matemáticas)

Un filtro es un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado que satisface ciertas condiciones. El concepto proviene de la topología general , donde surgen filtros en la red de todos los subconjuntos de cualquier conjunto ordenado por la relación de inclusión. El filtro es un concepto dual al ideal .

Los filtros fueron introducidos por Henri Cartan en 1937 [1] [2] y posteriormente utilizados por Nicola Bourbaki en su libro Topologie Générale como una alternativa al concepto similar de red , desarrollado en 1922 por E. G. Moore y G. L. Smith.

Definición en el marco de la teoría de la red

Un subconjunto de una semired se llama filtro si $F$ $L$

para todos , $a,b\en F$ $a\land b\in F$
para todos y tal que , $a \ en F$ $b$ ${\ estilo de visualización a \ leq b}$ ${\ estilo de visualización b \ en F}$

Se dice que un filtro es nativo si . $F\neq L$

Un filtro propio tal que no hay otros filtros propios que lo contengan se denomina ultrafiltro o filtro máximo .

Un filtro de celosía se llama simple si por el hecho de que , se sigue que , o . $F$ ${\ estilo de visualización a, b \ en L}$ ${\ estilo de visualización a \ lo b \ en F}$ $a \ en F$ ${\ estilo de visualización b \ en F}$

El filtro mínimo que contiene el elemento dado se denomina filtro principal generado por el elemento principal . $X$ $X$

Si filtra, entonces es ideal . $F$ $L\barra invertida F$

Filtro de álgebra booleana

Un filtro en un álgebra booleana es un subconjunto para el cual se cumplen las condiciones [3] : $METRO$ $D\subseteq M$

$D\neq \varnada$ ,
$x,y\in D\Rightarrow (x\cap y)\in D$ ,
$x\in D,x\leqslant y\Rightarrow y\in D$ ,
$x\in D\Rightarrow {\bar {x}}\notin D$ .

Un filtro en un álgebra booleana se denomina ultrafiltro si se cumple la siguiente condición: $D$ $METRO$

$\forall x\in M:x\in D\vee {\bar {x}}\in D$ .

Un filtro en álgebra booleana se llama simple si cumple la condición: $D$ $METRO$

$\forall x,y\in M:(x\cup y)\in D\Rightarrow x\in D\vee y\in D$ .

Se dice que un filtro en un álgebra booleana es máximo si no está contenido en ningún otro filtro en . $D$ $METRO$ $METRO$

Filtros en conjuntos

Un caso especial de un filtro es un filtro en un conjunto. Para cada conjunto , puede definir una red de sus subconjuntos . Entonces el filtro on se define como un subconjunto que cumple las siguientes condiciones [4] : $X$ $({\mathcal {P}}(X),\subseteq )$ $\mathfrak F$ $X$ ${\mathcal {P}}(X)$

${\mathfrak {F}}\neq\varnada$
$\varnothing \notin {\mathfrak {F))$
la intersección de dos elementos cualesquiera se encuentra en $\mathfrak F$ $\mathfrak F$
el superconjunto de cualquier elemento se encuentra en $\mathfrak F$ $\mathfrak F$

Un filtro de vista se denomina filtro generado por conjuntos . Un filtro generado por un conjunto de un elemento se llama principal . El filtro principal es un ultrafiltro. ${\mathfrak {F}}_{Z}=\{Y\in {\mathcal {P}}(X)\mid Z\subseteq Y\}$ $Z$

Base de filtro

Sea un filtro en el set . Una familia de subconjuntos se llama base (base) del filtro si algún elemento del filtro contiene algún elemento de la base , es decir, para cualquiera existe tal que . En este caso, el filtro coincide con la familia de todos los posibles superconjuntos de conjuntos de . En particular, los filtros que tienen una base común son los mismos. También se dice que la base genera un filtro $\mathfrak F$ $X$ ${\mathfrak {B}}\subconjunto {\mathfrak {F}}$ $\mathfrak F$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$ $Y\in {\mathfrak{F}}$ $B\in {\mathfrak{B}}$ ${\ estilo de visualización B \ subconjunto Y}$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak B}$ $\mathfrak F$

Para que una familia de subconjuntos de un conjunto sea la base de algún filtro sobre , es necesario y suficiente que se cumplan las siguientes condiciones ( axiomas base ): ${\mathfrak{B}}=\{B\}$ $X$ $X$

${\mathfrak {B}}\neq\varnada$ ;
$\varnada \not \in {\mathfrak {B}}$ ;
para cualquier existe tal que $A,B\in {\mathfrak {B}}$ $C\in {\mathfrak{B}}$ $A\cap B\supset C$ .

Dos bases y se llaman equivalentes si cualquier elemento contiene algún elemento , y viceversa, cualquier elemento contiene algún elemento . ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak B}'$ $B\in {\mathfrak{B}}$ $B'\in {\mathfrak {B))'$ $B'\in {\mathfrak {B))'$ $B\in {\mathfrak{B}}$

Las bases equivalentes generan el mismo filtro. Entre todas las bases equivalentes a una base dada , hay una base que es máxima con respecto a la inclusión, a saber, el filtro generado por esta base . Por lo tanto, existe una correspondencia uno a uno natural entre las clases de bases y filtros equivalentes. ${\mathfrak B}$ $\mathfrak F$

Comparación de filtros

Deje que el conjunto tenga dos filtros y . Se dice que un filtro mayoriza un filtro ( más fuerte , más delgado ) si . En este caso, también se dice que el filtro está mayorizado por el filtro ( más débil , más grueso ). $X$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak{F))'$ ${\mathfrak{F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak{F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak{F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak {F}}'\supset {\mathfrak {F}}$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak{F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak{F))'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak{F))'$

Dicen que la base es más fuerte que la base , y escriben si algún elemento contiene algún elemento . La base es más fuerte que la base si y sólo si el filtro generado por la base es más fuerte que el filtro generado por la base . ${\mathfrak B}'$ ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}$ $B\in {\mathfrak{B}}$ $B'\in {\mathfrak {B))'$ ${\mathfrak B}'$ ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak{F))'$ ${\mathfrak B}'$ $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$

Las bases y son equivalentes si y solo si ambas y . ${\mathfrak B}$ ${\mathfrak B}'$ ${\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}\geqslant {\mathfrak {B}}'$

Filtros en espacios topológicos

Sea un espacio topológico y sea un filtro sobre el conjunto . Un punto se llama límite de un filtro si alguna vecindad del punto pertenece al filtro . Designación: . Si es el único límite de filtro, escriba también . $(X,{\mathcal {T))$ $\mathfrak F$ $X$ $a \ en X$ $\mathfrak F$ $V(a)$ $a$ $\mathfrak F$ $a\in \lim {\mathfrak{F}}$ $a$ $a=\lim {\mathfrak{F}}$

Para un filtro generado por la base , el punto es su límite si y sólo si cualquier vecindad contiene enteramente algún conjunto de . $\mathfrak F$ ${\mathfrak B}$ $a$ $V(a)$ ${\mathfrak B}$

En un espacio topológico de Hausdorff , un filtro puede tener como máximo un límite. Lo contrario también es cierto: si cada filtro tiene como máximo un límite, entonces el espacio es Hausdorff.

Un punto se denomina punto límite (punto de contacto, límite parcial) del filtro si pertenece a la clausura de cualquier conjunto desde , es decir, para todos . De manera equivalente, para cualquier vecindad del punto y para cualquier , . Cualquier punto límite de un ultrafiltro es su límite. $a \ en X$ $\mathfrak F$ $a$ $\mathfrak F$ $a\in {\overline {Y}}$ $Y\in {\mathfrak{F}}$ $V(a)$ $a$ $Y\in {\mathfrak{F}}$ $V(a)\cap Y\neq \varnada$

En un espacio topológico compacto , cualquier filtro tiene un punto límite y cualquier ultrafiltro tiene un límite.

Ejemplos

El conjunto de todas las vecindades de un punto en un espacio topológico es un filtro;
Si es un conjunto infinito, entonces el conjunto de complementos de conjuntos finitos es un filtro. Tal filtro se llama filtro final o filtro Fréchet . $X$
Si es un conjunto infinito de cardinalidad , entonces el conjunto de complementos de conjuntos de cardinalidad también es un filtro. $X$ $\mathfrak m$ $<{\mathfrak{m))$

Véase también

Notas

↑ H. Cartan, "Théorie des filtres" Archivado el 11 de mayo de 2015 en Wayback Machine , CR Acad. París , 205 , (1937) 595-598.
↑ H. Cartan, "Filtres et ultrafiltres" Archivado el 14 de octubre de 2015 en Wayback Machine , CR Acad. París , 205 , (1937) 777-779.
↑ Lavrov, 1975 , pág. 22
↑ Aleksandryan, 1979 , pág. 100.

Literatura

Aleksandryan R. A. , Mirzakhanyan E. A. Topología general. - M. : Escuela superior, 1979. - 336 p.
Lavrov I. A. , Maksimova L. L. Problemas en teoría de conjuntos, lógica matemática y teoría de algoritmos. — M .: Nauka, 1975. — 240 p.