Ultrafiltro

El ultrafiltro en la red es el filtro propio máximo [1] . El concepto de ultrafiltro apareció en topología general , donde se utiliza para generalizar el concepto de convergencia a espacios de base incontable. $F$

Definición

Un filtro propio en una red es un ultrafiltro si no está contenido en ningún filtro propio (es decir, que no sea ). $F$ $L$ $F$

Un conjunto de subconjuntos de un conjunto se llama ultrafiltro si $F$ $X$ $X$

$\varnada\notin F$
para dos elementos cualesquiera , su intersección también se encuentra en $F$ $F$
para cualquier elemento , todos sus superconjuntos se encuentran en $F$ $F$
para cualquier subconjunto , o $Y\subconjunto X$ $Y \ en F$ $X \barra invertida Y \in F$

Notas

$F$ es un ultrafiltro si una función en los conjuntos , dada como , si , y de lo contrario, entonces es una medida de probabilidad finitamente aditiva en . $S\subconjunto X$ ${\ estilo de visualización \ omega _ {F} (S) = 1}$ $S \ en F$ ${\ estilo de visualización \ omega _ {F} (S) = 0}$ $\omega _{F}$ $X$

Ultrafiltros en álgebras booleanas

Si la red es un álgebra booleana , entonces es posible la siguiente caracterización de ultrafiltros: un filtro es un ultrafiltro si y solo si para cualquier elemento , o $L$ $F$ $x\en L$ $x \en F$ $-x \in F$

Esta caracterización hace que los ultrafiltros parezcan teorías completas .

Ejemplos

El filtro mínimo que contiene el elemento dado se denomina filtro principal generado por el elemento principal . $X$ $X$
- Cualquier filtro principal es un ultrafiltro
- Las aplicaciones principales tienen ultrafiltros no principales.
un subconjunto del álgebra de Lindenbaum-Tarski de la teoría completa , que consta de teoremas $T$ $T$

Propiedades

el ultrafiltro en un conjunto finito es siempre principal .
cualquier ultrafiltro en un conjunto infinito contiene un filtro finito .
si es el ultrafiltro principal del conjunto , entonces su elemento principal es la intersección de todos los elementos del ultrafiltro. $F$ $X$
si es un ultrafiltro no principal en el conjunto , entonces la intersección de todos sus elementos está vacía. $F$ $X$
Cada filtro está contenido en un ultrafiltro.
- Esta afirmación no puede probarse sin usar el axioma de elección .
- Además, esta afirmación es equivalente al teorema de los ideales primos booleanos .
- Una consecuencia importante de este teorema es la existencia de ultrafiltros no principales en conjuntos infinitos.
La compactación Stone-Cech de un espacio discreto es un conjunto de ultrafiltros sobre una red de subconjuntos dotados de la topología Stone . Como base de conjuntos abiertos de la topología de Stone sobre el conjunto de ultrafiltros , podemos tomar conjuntos para todos los posibles $X$ $X$ $GRAMO$ $D_{a}=\{U\en G|a\en U\}$ ${\ estilo de visualización a \ en P (X).}$

Aplicaciones

Los ultrafiltros se utilizan en una serie de construcciones de teoría de modelos , concretamente para formular el concepto de un ultraproducto .
Los ultrafiltros también aparecen en la formulación del teorema de representación de Stone para álgebras booleanas y en la construcción explícita de la compactación de Stone-Cech .
El ultralímite para espacios métricos es una generalización de la convergencia de Gromov-Hausdorff .
Los ultrafiltros se utilizan en combinatoria, como en la teoría de Ramsey . [2]

Notas

↑ Postnikov M. M. Conferencias sobre geometría: variedades suaves. - 2. - URSS, 2017. - S. 166-170. — 480 s. — ISBN 978-5-9710-3916-7 .
↑ Isaac Goldbring. Métodos de ultrafiltro en combinatoria // Instantáneas de las matemáticas modernas de Oberwolfach. — 2021. — No. 6 _ Archivado desde el original el 24 de enero de 2022.