Espacio hausdorff

Un espacio de Hausdorff es un espacio topológico que satisface el axioma de separación fuerte T 2 .

Nombrado en honor a Felix Hausdorff , uno de los fundadores de la topología general . Su definición original de un espacio topológico incluía el requisito ahora llamado Hausdorff.

A veces, el término topología de Hausdorff se utiliza para indicar la estructura de un espacio topológico de Hausdorff en un conjunto .

Definición

Un espacio topológico se llama Hausdorff si dos puntos distintos tienen vecindades que no se intersecan . $X$ $X$ $y$ $X$ $u(x)$ $V(y)$

Ejemplos y contraejemplos

Todos los espacios métricos y espacios metrizables son de Hausdorff , en particular: espacios euclidianos , variedades , la mayoría de los espacios de función de dimensión infinita utilizados en el análisis , como o , . $\mathbb{R} ^{n}$ $L^{p}\$ $W^{{1,\;p}}$ $p\geqslant 1\$

Si un grupo topológico es un espacio T 0 , entonces es Hausdorff. Si T 0 no se cumple, entonces la factorización por el cierre del elemento neutral del grupo dará un espacio de Hausdorff [1] . Por esta razón, algunas fuentes incluyen Hausdorffness en la definición de un grupo topológico.

El ejemplo más simple (e importante) de un espacio que no es de Hausdorff es el de dos puntos conectados y, de manera más general, el álgebra de Heyting . Por ejemplo, la topología de Zariski en una variedad algebraica no es Hausdorff. No Hausdorff, en términos generales, el espectro de un anillo .

Propiedades

La unicidad del límite de una secuencia (en un caso más general, un filtro ), si tal límite existe.
Una propiedad equivalente a la definición de la topología de Hausdorff es la clausura de la diagonal en el cuadrado cartesiano del espacio . $\Delta =\{(x,\;x)\;|\;x\en X\}$ $X\veces X$ $X$
En un espacio de Hausdorff, todos sus puntos son cerrados (es decir, conjuntos de un punto).
El subespacio y el producto cartesiano de los espacios de Hausdorff también son Hausdorff.
En términos generales, Hausdorffness no se transfiere a espacios de cociente .
Un espacio de Hausdorff compacto es normal y metrizable si y solo si tiene una base de topología contable.
Cualquier mapeo continuo uno a uno de un espacio compacto a un espacio de Hausdorff es un homeomorfismo .
Cualquier espacio finito de Hausdorff es discreto.

Notas

↑ D. Ramakrishnan y R. Valenza. Análisis de Fourier en campos numéricos. - Springer-Verlag, 1999. - (Textos de Grado en Matemáticas).

Literatura

Aleksandrov PS Introducción a la teoría de conjuntos y topología general. - 2º, estereotipado. - M. : Lan, 2010. - 368 p. - ISBN 978-5-8114-0981-5 .