Transformación binomial

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Una transformación binomial es una secuencia de transformaciones o una transformación de una secuencia que calcula sus diferencias finitas . El concepto de transformación binomial está estrechamente relacionado con la transformada de Euler , que es el resultado de aplicar la transformación binomial a una sucesión .

Definición

La transformación binomial de secuencia a secuencia es $T$ ${un}}$ ${\ estilo de visualización {s_ {n}}}$

s_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \elegir k}a_{k}.

Introduzcamos , donde está el operador , que tiene dimensión infinita y consta de elementos de la matriz ${\displaystyle (Ta)_{n}=s_{n))$ $T$ $T_{nk}.$

El operador tiene la propiedad de involución : $T$

{\ estilo de visualización TT = 1}

o en otros términos ,

{\displaystyle \sum_{k=0}^{\infty}T_{nk}T_{km}=\delta_{nm))

dónde

\delta

es el símbolo de Kronecker .

La fila original puede ser restaurada por la regla

a_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \elegir k}s_{k}.

Las transformaciones binomiales de sucesiones son n diferencias finitas alternantes de signos :

s_{0}=a_{0}

;

s_{1}=-(\triángulo a)_{0}=-a_{1}+a_{0}

;

s_{2}=(\triángulo ^{2}a)_{0}=-(-a_{2}+a_{1})+(-a_{1}+a_{0})=a_ {2}-2a_{1}+a_{0}

;

\ldots

s_{n}=(-1)^{n}(\triángulo ^{n}a)_{0},

dónde

\triángulo

es el operador de diferenciación:

\Delta _{h}(f(x))=f(x+h)-f(x).

Ejemplo

Las transformaciones binomiales se pueden ver en tablas, por ejemplo, en esta:

0		una		diez		63		324		1485
	una		9		53		261		1161
		ocho		44		208		900
			36		164		692
				128		528
					400

La fila superior ( 0, 1, 10, 63, 324, 1485 ) está dada por , que es la transformación binomial de la diagonal ( 0, 1, 8, 36, 128, 400 ), que a su vez está dada por ${\ estilo de visualización 3^{n-2}(2n^{2}+n)}$ ${\ estilo de visualización n^{2}2^{n-1))$

Cambio

El operador binomial es el operador de cambio para los números de Bell : $Bi}$

{\displaystyle B_{n+1}=\sum _{k=0}^{n}{n \elegir k}B_{k))

Funciones generadoras simples

La transformación binomial por la función generadora de una sucesión está relacionada con la teoría de series .

Dejar $\left\{{\begin{matriz}f(x)=\sum _{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}\\g(x)=\sum _ {n=0}^{\infty}s_{n}x^{n}\end{matriz}}\right.$

Después

g(x)=(Tf)(x)={\frac {1}{1-x}}f\left({\frac {x}{1-x}}\right).

(función generadora simple)

Transformada de Euler

La relación entre funciones generatrices simples a veces se denomina transformada de Euler , que se utiliza, por ejemplo, para acelerar la convergencia de series alternas. Si sustituimos en la fórmula por una función generadora simple , entonces obtenemos $x={\frac{1}{2))$

\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}a_{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} {\frac{\Delta^{n}a_{0}}{2^{n+1}}}

que converge mucho más rápido que la serie original.

Esta transformación se puede generalizar a la forma $p\in \mathbb {N}$

\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}{n+p \elegir n}a_{n}=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n}{n+p \elegir n}{\frac {\Delta ^{n}a_{0}}{2^{n+p+1}}}.

También se aplica la transformada de Euler a la función hipergeométrica , obteniendo ${\ estilo de visualización _ {2} F_ {1}}$

{\displaystyle_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,_{2}F_{1}\left(ca,b;c; {\frac{z}{z-1}}\derecha).}

Las transformaciones binomiales, y en particular la transformación de Euler, están relacionadas con las fracciones continuas . Que tenga una fracción continua . ${\ estilo de visualización 0 <x <1}$ $x=[0;a_{1},a_{2},a_{3},\cdots]$

Después

\left\{{\begin{matriz}{\cfrac {x}{1-x}}=[0;a_{1}-1,a_{2},a_{3},\cdots]; \\{\cfrac {x}{1+x}}=[0;a_{1}+1,a_{2},a_{3},\cdots ].\end{matriz}}\right.

Función generadora exponencial

Para la función exponencial tenemos

\left\{{\begin{matriz}{\overline {f}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty}a_{n}{\frac {x^{n} {n!));\\{\overline {g}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}{\frac {x^{n}}{n! }}.\end{matriz}}\right.

Después

{\overline {g}}(x)=(T{\overline {f}})(x)=e^{x}{\overline {f}}(-x).

Representación integral

Cuando una secuencia se puede representar como una interpolación de una función compleja , la representación binomial de la secuencia se puede representar como una integral de Norlund-Rice de la función de interpolación.

Generalización de transformaciones binomiales

Véase también

Transformada de Mellin

Literatura

John H. Conway y Richard K. Guy, 1996, El libro de los números
Donald E. Knuth, El arte de la programación informática vol. 3 , (1973) Addison-Wesley, Reading, MA.
Helmut Prodinger, 1992, Alguna información sobre la transformada binomial
Michael Z. Spivey y Laura L. Steil, 2006, Las k-transformadas binomiales y la transformada de Hankel
Borisov B. y Shkodrov V., 2007, Serie divergente en la transformada binomial generalizada, Adv. Semental. continuación Matemáticas, 14(1): 77-82

Enlaces