Funcional
Un funcional es una función definida en un conjunto arbitrario y que tiene un rango numérico de valores : generalmente un conjunto de números reales o números complejos . En un sentido más amplio, un funcional es cualquier mapeo de un conjunto arbitrario en un anillo arbitrario (no necesariamente numérico) .
Los funcionales se estudian como uno de los conceptos centrales en el análisis funcional , y el tema principal del cálculo de variaciones es el estudio de variaciones de funcionales.
Definiciones
El dominio funcional puede ser cualquier conjunto. Si el dominio de definición es un espacio topológico , entonces se puede definir un funcional continuo ; si el dominio es un espacio lineal sobre o sobre , se puede definir un funcional lineal ; si el dominio es un conjunto ordenado , se puede definir un funcional monótono.
Un funcional definido en un espacio topológico se llama continuo si es continuo como un mapeo en un espacio topológico o .
Un funcional definido en un espacio topológico se llama continuo en un punto si es continuo en este punto como un mapeo en un espacio topológico o .
Un funcional definido en un espacio lineal y que conserva la suma y la multiplicación por una constante se llama funcional lineal . (El mapeo de un espacio lineal en un espacio lineal se llama operador ).
Uno de los funcionales más simples es una proyección (asignación a un vector de uno de sus componentes o coordenadas).
Muy a menudo, este o aquel espacio de funciones juega el papel de un espacio lineal (funciones continuas en un intervalo, funciones integrables en un plano, etc.). Por lo tanto, en áreas aplicadas, un funcional a menudo se entiende como una función de funciones , un mapeo que convierte una función en un número (real o complejo).
Se dice que un funcional en un espacio lineal es definido positivo si su valor no es negativo y es igual a cero solo en cero.
El mapeo que transforma un vector en su norma es un funcional definido positivo convexo , este es uno de los funcionales más comunes. En física, la acción se usa a menudo , también funcional.
Los problemas de optimización se formulan en el lenguaje de los funcionales : encontrar una solución (ecuaciones, sistemas de ecuaciones, sistemas de restricciones, sistemas de desigualdades, sistemas de inclusiones, etc.) que entregue un extremo (mínimo o máximo) a un funcional dado. Los funcionales también se consideran en el análisis de variaciones .
Funcional en espacio lineal
Más tarde, el concepto de funcional en un espacio lineal se separó del concepto de funcional tradicional , como una función que mapea elementos de un espacio lineal en su espacio de escalares . A menudo (por ejemplo, cuando el espacio de funciones es un espacio lineal), estas dos variedades del concepto de "funcional" coinciden, al mismo tiempo que no son idénticas y no se absorben entre sí.
Un tipo particularmente importante de funcionales son los funcionales lineales .
Ejemplos
- norma de función
- valor de la función en un punto fijo
- máximo o mínimo de una función en un segmento
- el valor de la integral de la función
- longitud de la gráfica de una función real de una variable real
- longitud de una curva definida paramétricamente por una función vectorial de un argumento real (longitud de ruta)
- área de superficie definida paramétricamente por una función vectorial de dos argumentos reales
- producto escalar por un vector fijo
- acción en mecánica
- energía funcional
Literatura
- V. I. Sobolev . Funcional // Enciclopedia Matemática : [en 5 tomos] / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia soviética, 1985. - T. 5: Slu - Ya. - 1248 stb. : enfermo. — 150.000 copias.
- Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elementos de la teoría de funciones y análisis funcional. - ed. cuarto, revisado. — M .: Nauka , 1976 . — 544 pág. - 35.000 ejemplares.
- Rudin W. Análisis funcional. — M .: Mir , 1975. — 443 p.
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