Armónicos esféricos vectoriales

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Los armónicos esféricos vectoriales son funciones vectoriales que se transforman bajo rotaciones del sistema de coordenadas de la misma manera que las funciones esféricas escalares con los mismos índices, o ciertas combinaciones lineales de tales funciones.

Definiciones

1. Los armónicos esféricos vectoriales son funciones vectoriales que son funciones propias de los operadores , donde es el operador de momento angular orbital, es el operador de momento de espín para espín 1, es el operador de momento angular total. [una] $\mathbf {Y}_{JM}^{L}(\vartheta,\varphi)$ ${\sombrero {\mathbf {J} }}^{2},{\sombrero {J}}_{z},{\sombrero {\mathbf {L} }}^{2},{\sombrero {\mathbf {S} }}^{2}$ ${\sombrero {\mathbf {L} }}$ ${\sombrero {\mathbf {S} ))$ ${\sombrero {\mathbf {J} ))={\sombrero {\mathbf {L} }}+{\sombrero {\mathbf {S} }}$

{\begin{matriz}{l}{{\sombrero {\mathbf {J} }}^{2}\mathbf {Y}_{JM}^{L}(\vartheta,\varphi)={ J}({J}+1)\mathbf {Y} _{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )}\\{{\hat {J))_{z}\mathbf {Y} _ {JM}^{L}(\vartheta,\varphi)=M\mathbf {Y}_{JM}^{L}(\vartheta,\varphi)}\\{{\sombrero {\mathbf {L}} }^{2}\mathbf {Y}_{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )=L(L+1)\mathbf {Y}_{JM}^{L}(\vartheta ,\ varphi )}\\{{\hat {\mathbf {S} }}^{2}\mathbf {Y}_{JM}^{L}(\vartheta ,\varphi )=2\mathbf {Y}_{ JM}^{L}(\vartheta,\varphi)}\end{matriz}}

2. A menudo (ver, por ejemplo, Dispersión de Mie ) el conjunto fundamental de soluciones de la ecuación vectorial de Helmholtz en coordenadas esféricas se denomina vector armónico. [2] [3]

En este caso, los armónicos esféricos vectoriales son generados por funciones escalares que son la solución de la ecuación de Helmholtz con el vector de onda . ${\ estilo de visualización {\ bf {k))}$

{\begin{matriz}{l}{\psi_emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta)z_{n}({k}r)} \\{\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)}\end{matriz))

donde son los polinomios de Legendre asociados , y es cualquiera de las funciones esféricas de Bessel . $P_{n}^{m}(\cos \theta )$ $z_{n}({k}r)$

Los armónicos vectoriales se expresan como

{\displaystyle \mathbf {L}_{^{e}_{o}mn}=\mathbf {\nabla} \psi_{^{e}_{o}mn})

- armónicos longitudinales

\mathbf {M}_{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi_{^{e}_{o}mn}\right)

- armónicos magnéticos

\mathbf {N}_{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M}_{^{e}_{o}mn}){\mathbf {k} }}

- armónicos eléctricos

Aquí introducimos funciones generadoras con una parte angular real, pero por analogía también podemos introducir armónicos complejos.

3. También se introducen a menudo vectores esféricos [4] [5] [6] [7] , que son combinaciones lineales de funciones , pero no son funciones propias del cuadrado del momento angular orbital, sino que están orientados de cierta manera con respecto a al vector unitario . [1] . Las definiciones y designaciones de vectores de este tipo en la literatura varían ampliamente, aquí está una de las opciones. $\mathbf {Y}_{JM}^{L}(\vartheta,\varphi)$ ${\ matemáticas {r}}$

\mathbf {X} _{JM}(\theta ,\phi )={\frac {1}{\sqrt {l(l+1)}}}\mathbf {L} Y_{JM}(\ theta ,\phi )={\frac {1}{i{\sqrt {l(l+1))))}\mathbf {r} \times \nabla Y_{JM}(\theta ,\phi )={ \mathbf {Y}_{JM}^{(0)}(\vartheta,\varphi)=\mathbf {Y}_{JM}^{J}(\vartheta,\varphi)}

- vectores de tipo magnético.

{\displaystyle i\mathbf {Y}_{JM}^{(0)}(\vartheta,\varphi)\times \mathbf {r} ={\mathbf {Y}_{JM}^{(1)} (\vartheta,\varphi)={\sqrt {\frac {J+1}{2J+1}}}\mathbf {Y} _{JM}^{J-1}(\vartheta,\varphi)+{ \sqrt {\frac {J}{2J+1}}}\mathbf {Y}_{JM}^{J+1}(\vartheta,\varphi)))

- vectores de tipo eléctrico

\mathbf {r} Y_{JM}(\vartheta,\varphi)={\mathbf {Y}_{JM}^{(-1)}(\vartheta,\varphi)={\sqrt {\ fracción {J}{2J+1}}}\mathbf {Y}_{JM}^{J-1}(\vartheta,\varphi)-{\sqrt {\frac {J+1}{2J+1} }}\mathbf {Y} _{JM}^{J+1}(\vartheta,\varphi)}

- vector esférico longitudinal

Para vectores de este tipo, los generadores son funciones esféricas escalares sin parte radial. $Y_{JM}(\vartheta,\varphi)$

Armónicos Eléctricos . fotografiado dos veces ${\displaystyle \mathbf {N}_{^{e}_{o}m1))$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {N} _ {e01}}$
Armónicos Eléctricos . fotografiado dos veces ${\displaystyle \mathbf {N}_{^{e}_{o}m2))$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {N} _ {e02}}$
Armónicos Eléctricos . fotografiado dos veces ${\displaystyle \mathbf {N}_{^{e}_{o}m3))$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {N} _ {e03}}$

armónicos magnéticos . fotografiado dos veces ${\displaystyle \mathbf {M}_{^{e}_{o}m1))$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {M} _ {e01}}$
armónicos magnéticos . fotografiado dos veces ${\displaystyle \mathbf {M}_{^{e}_{o}m2))$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {M} _ {e02}}$
armónicos magnéticos . fotografiado dos veces ${\displaystyle \mathbf {M}_{^{e}_{o}m3))$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {M} _ {e03}}$

Ortogonalidad

Las soluciones de la ecuación vectorial de Helmholtz obedecen a las siguientes relaciones de ortogonalidad [3] :

{\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\pi }\mathbf {L}_{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {L } _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+ 1 )^{2))}{\frac {(n+m)!}{(nm)!}}k^{2}\left\{n\left[z_{n-1}(kr)\right ] ^{2}+(n+1)\izquierda[z_{n+1}(kr)\derecha]^{2}\derecha\}}

{\int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{\pi }\mathbf {M}_{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {M } _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{2n+1 }}{\frac {(n+m)!}{(nm)!}}n(n+1)\left[z_{n}(kr)\right]^{2}}

\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {N}_{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+1 )^{2))}{\frac {(n+m)!}{(nm)!}}n(n+1)\left\{(n+1)\left[z_{n-1}( kr)\derecha]^{2}+n\izquierda[z_{n+1}(kr)\derecha]^{2}\derecha\}

{\int_{0}^{\pi }\int_{0}^{2\pi }\mathbf {L}_{^{e}_{o}mn}\cdot \mathbf {N } _{^{e}_{o}mn}\sin \vartheta d\vartheta d\varphi }{=(1+\delta _{m,0}){\frac {2\pi }{(2n+ 1 )^{2))}{\frac {(n+m)!}{(nm)!}}n(n+1)k\left\{\left[z_{n-1}(kr)\ right ]^{2}-\left[z_{n+1}(kr)\right]^{2}\right\}}

Todas las demás integrales sobre ángulos entre diferentes funciones o funciones con diferentes índices son iguales a cero.

Vista explícita

Introduzcamos la notación . La forma explícita de los armónicos magnéticos y eléctricos tiene la siguiente forma: ${\ estilo de visualización \ rho = kr}$

{\begin{alineado}{\mathbf {M}_emn}(k,\mathbf {r} )={{\frac {-m}{\sin(\theta )))\sin(m \varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))}z_{n}(\rho )\mathbf {e}_{\theta }-}\\{-\cos(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }\end{ alineado}}

{\begin{alineado}{\mathbf {M} _{omn}(k,\mathbf {r} )={{\frac {m}{\sin(\theta )))\cos(m\ varphi )P_{n}^{m}(\cos(\theta ))))z_{n}(\rho )\mathbf {e}_{\theta }-\\{-\sin(m\varphi ) {\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}z_{n}(\rho )\mathbf {e} _{\varphi }}\end{alineado }}

{\begin{alineado}{\mathbf {N}_emn}(k,\mathbf {r} )={\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\cos( m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }+}\\{+\cos(m\ varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta ))}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\ rho ))\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }-\\{-m\sin(m\varphi ){\frac {P_{n} ^{m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\ rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{alineado))

{\begin{alineado}\mathbf {N}_{omn}&(k,\mathbf {r} )={\frac {z_{n}(\rho )}{\rho }}\sin( m\varphi )n(n+1)P_{n}^{m}(\cos(\theta ))\mathbf {e} _{\mathbf {r} }+\\&+\sin(m\varphi ){\frac {dP_{n}^{m}(\cos(\theta ))}{d\theta }}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho } }\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\theta }+\\&+{m\cos(m\varphi ){\frac {P_{n}^ {m}(\cos(\theta ))}{\sin(\theta )}}}{\frac {1}{\rho }}{\frac {d}{d\rho }}\left[\rho z_{n}(\rho )\right]\mathbf {e} _{\varphi }\end{alineado))

Puede verse que los armónicos magnéticos no tienen componente radial. Para los armónicos eléctricos, la componente radial decrece más rápido que las angulares, por lo que puede despreciarse en las grandes. Además, para armónicos eléctricos y magnéticos con índices coincidentes, las componentes angulares coinciden hasta una permutación de los vectores unitarios polar y azimutal, es decir, en general, los vectores de armónicos eléctricos y magnéticos son iguales en valor absoluto y perpendiculares entre sí. otro. $\rho$ $\rho$

Forma explícita de armónicos longitudinales:

{\begin{alineado}\mathbf {L}_{^{e}_{o}{mn}}&(k,\mathbf {r} )={\frac {\parcial }{\parcial r }}z_{n}(kr)P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\cos }_{\sin }}{m\varphi }\mathbf {e} _{r}+ \\&{\frac {1}{r}}z_{n}(kr){\frac {\parcial }{\parcial \theta }}P_{n}^{m}(\cos \theta ){^ {\cos }_{\sin }}m\varphi \mathbf {e} _{\theta }\mp \\&\mp {\frac {m}{r\sin \theta }}z_{n}(kr )P_{n}^{m}(\cos \theta ){^{\sin }_{\cos }}m\varphi \mathbf {e} _{\varphi }\end{alineado))

Rotaciones e inversión del sistema de coordenadas

Durante las rotaciones, los armónicos esféricos vectoriales se transforman entre sí de la misma manera que las funciones esféricas escalares correspondientes , que se generan para un tipo particular de armónicos vectoriales. Por ejemplo, si las funciones generadoras son funciones esféricas ordinarias , los armónicos vectoriales también se transformarán utilizando matrices D de Wigner [1] [8] [9]

{\hat {D}}(\alpha ,\beta ,\gamma )\mathbf {Y} _{JM}^{(s)}(\theta ,\varphi )=\sum _{m'= -\ell }^{\ell }[D_{MM'}^{(\ell )}(\alpha ,\beta ,\gamma )]^{*}\mathbf {Y} _{JM'}^{( s)}(\theta,\varphi),

El comportamiento en las curvas es el mismo para los armónicos eléctricos, magnéticos y longitudinales.

Cuando se invierten, los armónicos esféricos eléctricos y longitudinales se comportan de la misma manera que las funciones esféricas escalares, es decir,

{\hat {I}}\mathbf {N}_{JM}(\theta,\varphi)=(-1)^{J}\mathbf {N}_{JM}(\theta,\varphi ),

y magnético tienen la paridad opuesta:

{\hat {I}}\mathbf {M}_{JM}(\theta ,\varphi )=(-1)^{J+1}\mathbf {M}_{JM}(\theta , \varphi ),

Expansión de ondas planas y relaciones integrales

En esta sección, utilizaremos la siguiente notación

{\begin{aligned}Y_{emn}&=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \theta )\\Y_{omn}&=\sin m\varphi P_{n }^{m}(\cos \theta )\end{alineado}}

\mathbf {X}_{^{e}_{o}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k))\right)=\nabla \times \left(\mathbf {k} Y_{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k))\right)\right)

\mathbf {Z}_{^{o}_{e}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k))\right)=i{\frac {\mathbf {k } {k))\times \mathbf {X}_{^{e}_{o}mn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k))\right)

En el caso de que en lugar de funciones esféricas de Bessel, utilizando la fórmula de expansión del exponente complejo en funciones esféricas , se pueden obtener las siguientes relaciones integrales: [10] $z_n$

{\displaystyle \mathbf {N} _{pmn}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {Z} _{pmn} \left({\frac {\mathbf {k} {k))\right)e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} }d\Omega _{k))

{\displaystyle \mathbf {M} _{pmn}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{4\pi }}\int \mathbf {X}_{pmn} \left({\frac {\mathbf {k} {k))\right)e^{i\mathbf {k} \mathbf {r} }d\Omega _{k))

En el caso de que en lugar de las funciones esféricas de Hankel, se deben utilizar otras fórmulas de expansión. [11] [10] Para armónicos vectoriales esféricos se obtendrán las siguientes relaciones: $z_n$

\mathbf {M} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint_{ -\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right))){k_ {z}}}\left[\mathbf {X} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)\right]

\mathbf {N} _{pmn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )={\frac {i^{-n}}{2\pi k}}\iint_{ -\infty }^{\infty }dk_{\|}{\frac {e^{i\left(k_{x}x+k_{y}y\pm k_{z}z\right))){k_ {z}}}\left[\mathbf {Z} _{pmn}\left({\frac {\mathbf {k} }{k}}\right)\right]

donde , y el superíndice significa que se utilizan las funciones esféricas de Hankel. ${\displaystyle k_{z}={\sqrt {k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2))))$ ${\ estilo de visualización (3)}$

Enlaces

↑ 1 2 3 Varshalovich D. A. , Moskalev A. N., Khersonsky V. K. Teoría cuántica del momento angular. Copia de archivo fechada el 11 de noviembre de 2007 en Wayback Machine - L.: Nauka, 1975.
↑ Boren K., Huffman D. Absorción y dispersión de la luz por partículas pequeñas. - M. : Mir, 1986. - S. 221-222. — 660 págs.
↑ 1 2 Stratton J. Teoría electromagnética. — Nueva York, McGraw. - S. 392-423.
↑ Akhiezer A.I., Berestetsky V.B. Electrodinámica cuántica. - 4. - M. , 1981.
↑ R. G. Barrera, G. A. Estévez y J. Giraldo, Armónicos esféricos vectoriales y su aplicación a la magnetostática , Eur. J Phys. 6 287-294 (1985)
↑ Jackson J. Electrodinámica clásica. — M .: Mir , 1965.
↑ R. Alaee, C. Rockstuhl, I. Fernandez-Corbaton, Descomposiciones multipolares exactas con aplicaciones en nanofotónica , Materiales ópticos avanzados 2019, 7, 1800783.
↑ H. Zhang, Yi. Han, Teorema de la adición para las funciones de onda vectoriales esféricas y su aplicación a los coeficientes de forma del haz. J. Opt. soc. Soy. B, 25(2):255-260, febrero de 2008.
↑ S. Stein, Teoremas de adición para funciones de onda esféricas , Quarterly of Applied Mathematics, 19(1):15-24, 1961.
↑ 1 2 B. Stout, Sumas de celosía armónica esférica para rejillas. En: Popov E, editor. Rejillas: teoría y aplicaciones numéricas. Institut Fresnel, Université d'Aix-Marseille 6 (2012). . Consultado el 29 de diciembre de 2019. Archivado desde el original el 21 de diciembre de 2018. (indefinido)
↑ R. C. Wittmann, Operadores de ondas esféricas y fórmulas de traducción, IEEE Transactions on Antennas and Propagation 36, 1078-1087 (1988) . Consultado el 29 de diciembre de 2019. Archivado desde el original el 29 de diciembre de 2019. (indefinido)