Matriz D de Wigner

$D$ la matriz de Wigner es la matriz de la representación irreducible de los grupos SU(2) y SO(3) . La conjugación compleja de la matriz - es una función propia del hamiltoniano de rotadores rígidos esféricos y simétricos. La matriz fue introducida en 1927 por Eugene Wigner . $D$

Definición de la matriz D de Wigner

Sean , , generadores de las álgebras de Lie y . En mecánica cuántica, estos tres operadores son componentes de un operador vectorial conocido como momento angular . Algunos ejemplos son el momento de un electrón en un átomo, el espín del electrón y el momento angular de un rotador rígido. En todos los casos, los tres operadores satisfacen las siguientes relaciones de conmutación $J_{x}$ $J_{y}$ $J_{z}$ ${\matemáticas {SU}}(2)$ ${\ matemáticas {SO}} (3)$

[J_{x},\;J_{y}]=iJ_{z},\quad [J_{z},\;J_{x}]=iJ_{y},\quad [J_{y} ,\;J_{z}]=iJ_{x},

donde es un número puramente imaginario y la constante de Planck se ha fijado igual a uno. Operador $i$ $\hbar$

{\displaystyle J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2))

es el operador Casimiro de (o , según sea el caso). Se puede diagonalizar junto con (La elección de este operador está determinada por convención), que conmuta con . Es decir, se puede demostrar que existe un conjunto completo de kets con ${\matemáticas {SU}}(2)$ ${\ matemáticas {SO}} (3)$ $J_{z}$ $J^{2}$

J^{2}|jm\rangle =j(j+1)|jm\rangle ,\quad J_{z}|jm\rangle =m|jm\rangle ,

donde y . Porque el número cuántico es un número entero. $j=0,\ 1/2,\ 1,\ 3/2,\ 2,\ \ldots$ $m=-j,\ -j+1,\ldots,\j$ ${\ matemáticas {SO}} (3)$ $j$

El operador de rotación se puede escribir como

{\mathcal {R}}(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )=e^{-i\gamma J_{z}}e^{-i\beta J_{y}}e ^{-i\alfa J_{z}},

donde están los ángulos de Euler . ${\ estilo de visualización \ alfa, \ \ beta, \ \ gamma}$

$D$ -La matriz de Wigner es una matriz cuadrada de dimensión con un elemento común $2j+1$

D_{m'm}^{j}(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma )\equiv \langle jm'|{\mathcal {R))(\alpha ,\beta ,\gamma )|jm\rangle =e^{-im'\gamma }d_{m'm}^{j}(\beta )e^{-im\alpha }.

Matriz con elemento común

d_{m'm}^{j}(\beta )=\langle jm'|e^{-i\beta J_{y}}|jm\rangle

conocida como la pequeña matriz de Wigner. $d$

Lista de elementos de la matriz d

por ${\ estilo de visualización j = 1/2}$

$d_{1/2,\;1/2}^{1/2}=\cos(\theta /2)$
$d_{1/2,\;-1/2}^{1/2}=-\sin(\theta /2)$

por $j=1$

$d_{1,\;1}^{1}={\frac {1+\cos \theta}{2))$
${\displaystyle d_{1,\;0}^{1}={\frac {-\sin \theta }{\sqrt {2))))$
$d_{1,\;-1}^{1}={\frac {1-\cos \theta}{2))$
$d_{0,\;0}^{1}=\cos \theta$

por ${\ estilo de visualización j = 3/2}$

$d_{3/2,\;3/2}^{3/2}={\frac {1+\cos \theta}{2))\cos {\frac {\theta}{2))$
$d_{3/2,\;1/2}^{3/2}=-{\sqrt {3}}{\frac {1+\cos \theta}{2}}\sin {\frac {\ theta {2))$
$d_{3/2,\;-1/2}^{3/2}={\sqrt {3}}{\frac {1-\cos \theta}{2}}\cos {\frac {\ theta {2))$
$d_{3/2,\;-3/2}^{3/2}=-{\frac {1-\cos \theta}{2))\sin {\frac {\theta}{2 }}$
$d_{1/2,\;1/2}^{3/2}={\frac {3\cos \theta -1}{2))\cos {\frac {\theta }{2} }$
$d_{1/2,\;-1/2}^{3/2}=-{\frac {3\cos \theta +1}{2))\sin {\frac {\theta }{ 2}}$

para [1] ${\ estilo de visualización j = 2}$

$d_{2,\;2}^{2}={\frac {1}{4}}\left(1+\cos \theta \right)^{2}$
$d_{2,\;1}^{2}=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1+\cos \theta \right)$
$d_{2,\;0}^{2}={\sqrt {\frac {3}{8))}\sin ^{2}\theta$
$d_{2,\;-1}^{2}=-{\frac {1}{2}}\sin \theta \left(1-\cos \theta \right)$
$d_{2,\;-2}^{2}={\frac {1}{4}}\left(1-\cos \theta \right)^{2}$
$d_{1,\;1}^{2}={\frac {1}{2}}\left(2\cos ^{2}\theta +\cos \theta -1\right)$
$d_{1,\;0}^{2}=-{\sqrt {\frac {3}{8))}\sin 2\theta$
$d_{1,\;-1}^{2}={\frac {1}{2}}\left(-2\cos ^{2}\theta +\cos \theta +1\right)$
$d_{0,\;0}^{2}={\frac {1}{2}}\left(3\cos ^{2}\theta -1\right)$

Los elementos de la matriz de Wigner con subíndices inversos se encuentran mediante la siguiente relación: $d$

d_{m',\;m}^{j}=(-1)^{mm'}d_{m,\;m'}^{j}=d_{-m,\;-m' }^{j}

Véase también

Coeficientes de Clebsch-Gordan

Notas

↑ Edén, M. Simulaciones por ordenador en RMN de estado sólido. I. Teoría de la dinámica del espín (inglés) // Concepts Magn. resonancia : diario. - 2003. - vol. 17A , n. 1 . - P. 117-154 . -doi : 10.1002/ cmr.a.10061 .