Matriz triangular

Una matriz triangular es una matriz cuadrada en álgebra lineal , en la que todos los elementos por debajo (o por encima) de la diagonal principal son iguales a cero.

Definiciones básicas

Una matriz triangular superior (o una matriz triangular superior ) es una matriz cuadrada en la que todos los elementos debajo de la diagonal principal son iguales a cero: en [1] [2] $A$ ${\ estilo de visualización a_ {ij} = 0}$ $yo>j$

Una matriz triangular inferior (o matriz triangular inferior ) es una matriz cuadrada en la que todas las entradas por encima de la diagonal principal son iguales a cero: en [1] [2] . $A$ ${\ estilo de visualización a_ {ij} = 0}$ $yo<j$

Una matriz unitriangular (superior o inferior) es una matriz triangular en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a uno: [3] . $A$ ${\ estilo de visualización a_ {jj} = 1}$

Una matriz diagonal es a la vez triangular superior y triangular inferior [4] .

Aplicación

Las matrices triangulares se utilizan principalmente en la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales (SLAE). Por ejemplo, el método gaussiano para resolver SLAE se basa en el siguiente resultado [5] :

cualquier matriz mediante transformaciones elementales sobre filas y permutaciones de filas se puede reducir a una forma triangular. $A_{{n\veces n}}$

Así, la solución de la SLAE original se reduce a resolver un sistema de ecuaciones lineales con matriz triangular de coeficientes, lo cual no es difícil.

Existe una variante de este método (llamada esquema gaussiano compacto ) basada en los siguientes resultados [6] :

cualquier matriz cuadrada con principales menores principales distintos de cero puede representarse como un producto de una matriz triangular inferior y una matriz triangular superior : sea unitriangular; $A$ $L$ $tu$ $A=LU$ $L$
Cualquier matriz cuadrada no degenerada se puede representar de la siguiente forma : $A$ $PA=LU$ $PAGS$

Propiedades

El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de su diagonal principal [7] (en particular, el determinante de una matriz unitriangular es igual a uno).
El conjunto de matrices triangulares superiores no degeneradas de orden n por multiplicación con elementos del campo k forma un grupo [4] , que se denota por UT ( n , k ) o UT n ( k ).
El conjunto de matrices triangulares inferiores no degeneradas de orden n por multiplicación con elementos del campo k forma un grupo [4] , que se denota por LT ( n , k ) o LT n ( k ).
El conjunto de matrices unitriangulares superiores con elementos del campo k forma un subgrupo de UT n ( k ) por multiplicación, que se denota SUT ( n , k ) o SUT n ( k ). Un subgrupo similar de matrices unitriangulares inferiores se denota SLT ( n , k ) o SLT n ( k ).
El conjunto de todas las matrices triangulares superiores con elementos del anillo asociativo k forma un álgebra con respecto a las operaciones de suma, multiplicación por elementos del anillo y multiplicación de matrices. Una afirmación similar es cierta para las matrices triangulares inferiores.
El grupo UT n es soluble , y su subgrupo unitriangular SUT n es nilpotente .

Véase también

Notas

↑ 1 2 Voevodin y Kuznetsov, 1984 , p. 27
↑ 1 2 Ikramov, 1991 , p. 9-10.
↑ Ikramov, 1991 , pág. diez.
↑ 1 2 3 Gantmakher, 1988 , pág. 27
↑ Gantmakher, 1988 , pág. 42-43.
↑ Voevodin y Kuznetsov, 1984 , pág. 76, 174-175.
↑ Voevodin y Kuznetsov, 1984 , pág. treinta.

Literatura

Voevodin V.V. , Kuznetsov Yu.A. Matrices y cálculos. — M .: Nauka , 1984. — 320 p.
Gantmakher F.R. Teoría de la matriz. 4ª ed. — M .: Nauka , 1988. — 552 p. — ISBN 5-02-013722-7 .
Ikramov H. D. . Problema de valores propios asimétricos. Métodos numéricos. — M .: Nauka , 1991. — 240 p. — ISBN 5-02-014462-2 .